Динамика точки. Динамика системы - Лекция

Если положение центра масс определить его радиусом-вектором , то из равенства (1) для получается формула: , (2) где - радиусы-векторы точек, образующих систему. Моментом инерции тела (системы) относительно оси Oz называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси: . Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции тела. Теорема Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Сравнивая уравнение (14) с уравнением движения материальной точки (§44, формулы (3)), придем к другому выражению теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой проложены все внешние силы, действующие на систему.

3.1 Механическая система. Силы внешние и внутренние

Систему материальных точек, движение которой рассматривается, называют механической системой.

Действующие на механическую систему активные силы и реакции связей разделяются на внешние и внутренние (индексы e и i от латинских exterior - внешний и interior - внутренний). Внешними называют силы, действующие на точки со стороны точек, не входящих в состав системы. Внутренними называют силы, с которыми точки системы действуют друг на друга.

Внутренние силы обладают следующими свойствами: 1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю. По третьему закону динамики две точки системы (рис. 83) действуют друг на друга с силами и , сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек, то .

Рис. 8

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно центра или оси равняется нулю. Действительно, из рис. 83 видно, что , следовательно, и для всей системы будет:

.

Из доказанных свойств не следует, что внутренние силы взаимно уравновешиваются, так как они приложены к разным точкам и могут вызвать взаимное перемещение точек. Уравновешенной совокупность внутренних сил будет у системы, представляющей абсолютно твердое тело.

3.2 Масса системы. Центра масс

Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек системы: , где M - масса системы, - масса точки с координатами .

Преобразуем формулs (42) из § 18, определяющие координаты центра тяжести тела к виду, явно содержащую массу. Для этого положим в этих формулах и , после чего, сократив на g, получим: , , . (1)

Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определить его радиусом-вектором , то из равенства (1) для получается формула: , (2)

где - радиусы-векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положение центра масс и центра тяжести совпадают.

3.3 Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

Моментом инерции тела (системы) относительно оси Oz называется скалярная величина, равная сумме произведений масс точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси: . (3)

Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции будет 1 кг•м2.

Моменты инерции относительно осей Oxyz определяются формулами: , , . (4)

Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина , определяемая равенством

, (5) где М - масса тела. Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции тела.

В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (3), обратится в интеграл.

В результате, учитывая, что , где - плотность, V - объем, получим: или . (6)

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий стержень длиной ? и массой m. Вычислим его момент инерции относительно оси Az, перпендикулярной стержню. При этом h = x, , где - масса единицы длины стержня. В результате по формуле (6) найдем: .

Заменяя его значением, окончательно найдем

. (7)

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 85). Так как , то по формуле (3) найдем

, окончательно для кольца

. (8)

Такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М.

Вычислим момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (рис. 85). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом r и шириной dr (рис. 86, а). Площадь этого кольца , а масса dm = r2•2p•r•dr, где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (8) для выделенного элемента кольца будет , а для всей пластины: .

Заменяя его значением, найдем окончательно

. (9)

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Такая же формула получится и для момента инерции однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси (рис. 86, б).

4. Прямоугольная пластина, конус, шар. Приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел: а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами АВ = а и BD = b (ость х направлена вдоль стороны АВ, ось y - вдоль BD): , a2/3 ;

б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось z направлена вдоль оси конуса): ;

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось z направлена вдоль диаметра):

.

Моменты инерции неоднородных тел определяют экспериментально.

3.4 Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса

Моменты инерции тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно другой оси, ей параллельной.

Теорема Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Проведем через центр масс С тела оси C , а через любую точку О на оси C - оси Oxyz, такие, что Oy || C , Oz || C . Расстояние между осями C и Oz обозначим через d. Тогда по формулам (4) будет: , .

Как видно из рисунка и , а .

Подставляя значение в выражение для JOZ и вынося общие множители d2 и 2d за скобки, получим:

.

В правой части равенства первая сумма равна , а вторая - массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формулы (1) . Так как точка С является началом координат, то = 0 и . Окончательно получаем: . (10)

Теорема доказана.

Рис. 12

4. Теорема о движении центра масс системы динамика сила точка инерция

4.1 Дифференциальные уравнения движения системы

Выделим в рассматриваемой механической системе какую-нибудь точку с массой . Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через , а равнодействующую внутренних сил через . Тогда уравнение, выражающее основной закон динамики, примет для точки следующий вид: mak , где ak - ускорение точки.

Аналогичный результат получим для любой другой точки. Следовательно, для всей системы будет: (11)

Уравнения (11) являются дифференциальными уравнениями движения системы в векторной форме. Проецируя эти равенства на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

4.2 Теорема о движении центра масс

Теорема: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Для доказательства теоремы сложим почленно левые и правые части уравнений (11). Тогда получим: Smk . (12)

Преобразуем левую часть равенства. Из формулы (2) имеем

.

Продифференцируем дважды по времени обе части этого равенства и учитывая, что производная от суммы равна сумме производных, найдем:

Или Smk = M , (13) где - ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил системы , из равенства (12) получим, учтя (13): M . (14)

Уравнение (14) выражает теорему о движении центра масс. Проецируя обе части равенства (14) на координатные оси, получим: , , . (15)

Уравнения (15) являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Сравнивая уравнение (14) с уравнением движения материальной точки (§44, формулы (3)), придем к другому выражению теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой проложены все внешние силы, действующие на систему.

4.3 Закон сохранения движения центра масс

1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю: .

Тогда из уравнения (14) следует, что = 0 или = const. Следовательно, если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно. В частности, если в начале центр масс был в покое, то он и останется в покое. Внутренние силы движение центра масс изменить не могут.

2. Пусть сумма внешних сил не равна нулю, но силы таковы, что сумма их проекций на ось (например на ось х) равна нулю: .

Тогда из первого уравнения формул (15) вытекает, что

Или .

Если сумма проекций внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент , то центр масс системы вдоль оси х перемещаться не будет (XC = const). Эти результаты выражают закон сохранения движения центра масс системы.

Пример. При отсутствии трения человек с помощью мускульных усилий (силы внутренние) не мог бы двигаться вдоль горизонтальной плоскости, так как сумма проекций на горизонтальную ость Ох приложенных к человеку внешних сил (сила тяжести и реакция плоскости) будет равна нулю и центр масс человека вдоль плоскости перемещаться не будет (XC = const).

Если, например, человек вынесет правую ногу вперед, то левая его нога скользнет назад, а центр масс останется на месте. При наличии же трения скольжению левой ноги назад будет препятствовать сила трения, которая в этом случае будет направлена вперед. Эта сила и будет той внешней силой, которая позволяет человеку перемещаться в сторону ее действия (в данном случае вперед).

5. Теорема об изменении количества движения системы

5.1 Количество движения системы

Количеством движения системы называют векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы.

. (16)

Рис. 13

Пользуясь этим определением, найдем формулу, с помощью которой значительно легче уяснить смысл величины . Из равенства (2) следует, что .

Продифференцируем обе части по времени, получим: или .

Отсюда находим: . (17)

Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость ее центра масс. Формулой (17) удобно пользоваться при вычислении количества движении твердого тела.

5.2 Теорема об изменении количества движения

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек.

Теорема: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Для доказательства теоремы сложим почленно левые и правые части уравнений (11). Тогда получим: Smk .

Последняя сумма согласно свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того, Smk .

Окончательно находим: . (18)

Уравнение (18) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме. Спроецируем обе части равенства (18) на координатные оси, получим: , , . (19)

Пусть в момент времени t = 0 количество движения системы равно , а в момент - равно . Тогда, умножая обе части равенства (18) на dt и интегрируя, получим:

Или . (20)

Уравнение (20) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме.

Проецируя обе части этого уравнения на координатные оси, получим: , , . (21)

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы.

5.3 Закон сохранения количества движения

1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю: .

Тогда из уравнения (18) следует, что = const.

2. Пусть внешние силы таковы, что сумма их проекций на ось (например, ох) равна нулю: .

Тогда из первого уравнения формул (19) следует, что Qx = const.

Эти результаты выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить количество движений системы не могут.

Пример (явление отдачи). Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней, она не может изменить количество движений системы, равное до выстрела нулю. Пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, то есть так называемую отдачу.

Задача 15. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью , попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 89). С какой скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящиком равна М?

Решение. Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему. Сумма проекций, приложенных к системе внешних сил (вес пули, вес тележки с песком, реакция плоскости) на горизонтальную ось Ох равна нулю. Следовательно, Qx = const или Q1x = Q0x, где - количество движения системы до удара; - после удара. Так как до удара тележка была неподвижная, то Q0x = mu.

После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначим через V. Тогда . Приравнивая правые части выражений Q1x и Q0x, найдем

.

Рис. 14

6. Теорема об изменении момента количеств движения системы

6.1 Главный момент количеств движения системы

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения точек системы относительно этого центра.

. (22)

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей: , , . (23)

При этом, , , представляют собой одновременно проекции вектора на координатные оси.

В качестве конкретного примера найдем значение для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (рис. 90).

Для точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии скорость ( - угловая скорость тела).

Рис. 15

Для этой точки . Тогда для всего тела, вынося общей множитель за скобки, получим: .

Используя формулу (3) окончательно находим: . (24)

Кинетический момент вращающегося тела, относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

6.2 Теорема об изменении главного момента количеств движения системы (теорема моментов)

Теорема, доказанная для одной точки, будет справедлива для каждой из точек системы, т.е.

, где и - равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на точку. Складывая почленно такие уравнения для всех точек системы, получим: .

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда, учитывая равенство (22), найдем окончательно: . (25)

Полученное уравнение выражает теорему моментов для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируя обе части равенства (25) на оси Oxyz, получим: , , . (26)

Уравнения (26) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

6.3 Закон сохранения главного момента количеств движения

1. Пусть сумма моментов относительно центра О внешних сил равна нулю

.

Тогда из уравнения (25) следует, что при этом = const.

2. Пусть внешние силы таковы, что сумма их моментов относительно некоторой оси Oz равна нулю

.

Тогда из уравнений (26) следует, что при этом Kz = const.

Эти результаты выражают собой закон сохранения главного момента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.

Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг оси z. Тогда по формуле (24)

.

Если в этом случае , то .

Отсюда приходим к следующим выводам: а) если система неизменяемая (абсолютно твердое тело), то и, следовательно, . б) если система изменяемая, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси или приближаться к ней, что приведет к изменению Jz. Но поскольку , то угловая скорость тоже будет изменяться.

Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, так как постоянство не означает вообще постоянства .

7. Теорема об изменении кинетической энергии системы

7.1 Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы: . (27)

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение тела. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс, следовательно, и формула (27) дает: или . (28)

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг оси Oz (см. рис. 90), то скорость любой его точки , где - расстояние точки от оси вращения, а - угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (27) и вынося общие множители за скобки, получим

.

Величина, стоящая в скобках представляет собой момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем

, (29) т.е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей (МЦС) Р (рис. 91). Следовательно, по формуле (29) получим: , (30) где JP - момент инерции тела относительно названной выше оси, - угловая скорость тела. Ведем вместо JP постоянный момент инерции JC относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 56): , где d=РС.

Рис. 16

Подставим это выражение для JP в (30). Учитывая, что точка Р - МЦС и, следовательно, , где - скорость центра масс С, найдем или . (31)

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия равна энергии поступательного движения, со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

7.2 Вычисление работы силы вращающегося тела

Элементарная работа приложенной к телу силы будет равна (см. § 51): , так как , где - элементарный угол поворота тела.

Если разложить по направлениям Вт, ВС и В (см. рис. 92), то , так как моменты двух других составляющих равны нулю. Будем называть величину вращающим моментом. Тогда получим

. (32)

Следовательно, элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота.

Формула (32) справедлива и при действии нескольких сил, если считать

.

При повороте на конечный угол , работа

, (33) а в случае постоянного момента: . (34)

Рис. 17

Укажем еще, как в данном случае определять мощность (см. § 51). Пользуясь равенством (32) , находим

.

Следовательно, мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тел. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.

7.3 Теорема об изменении кинетической энергии системы

Доказанная в § 52 теорема справедлива для любой из точек системы. Следовательно, для рассматриваемой точки системы будет: , где и - элементарные работы действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, найдем, что или . (35)

Равенство (35) выражает теорему в дифференциальной форме. Проинтегрировав обе части равенства в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна , в положение, где она становится равной , получим: . (36)

Это уравнение выражает теорему в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Рассмотрим частные случаи.

1. Неизменяемая система. Неизменяемой системой называют систему, в которой расстояние между двумя точками остается постоянным.

Рассмотрим точки и системы, действующие друг на друга с силами и .

Тогда, поскольку при движении отрезка В1В2 должно быть (см. § 38), то и , так как , . Кроме того, . В результате для суммы элементарных работ этих сил получим: .

В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (35) и (36) принимают вид и . (37)

2. Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим действующие на точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей. Тогда уравнение (35) можно представить в виде

DT , где - элементарная работа действующих на k-ю точку системы внешних и внутренних активных сил, а - элементарная работа реакций, наложенных на ту же точку внешних и внутренних связей.

Как видно, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких "идеальных" системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы.

Для таких связей выполняется условие: . (38)

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет и . (39)

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями при ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Рис. 18

Задача 16. Стержень АВ длинной ? подвешен на шарнире в точке А (рис. 94). Пренебрегая трением в шарнире, найти какую наименьшую угловую скорость надо сообщить стержню, чтобы он отклонился до горизонтального положения.

Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Учитывая, что система неизменяемая, составим уравнение (37): . (а)

Обозначая массу стержня через М, вычислим входящие в это уравнение величины. По формуле (29) и формуле (7) из § 55 находим: .

Так как в конечном положении скорость стрежня равна нулю, то . Работу совершает только активная сила и . Подставляя эти значения в уравнение (а), найдем: , откуда .

Рис. 19

Размещено на .ru