Понятие вероятности, математического ожидания, закона больших чисел, динамика их развития. Введение аксиоматического определения понятия вероятности математического ожидания. Теоремы Бернулли и Пуассона как простейшие формы закона больших чисел.
Аннотация к работе
В истории теории вероятностей можно выделить следующие этапы. В этот период, начало которого теряется в дали веков, ставились и примитивно решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. до начала XVIII в. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения. Теорема Бернулли дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона и др.; теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания.Кардано (1501-1576 гг.) в своей работе «Книги об игре в кости» вплотную подошел к определению понятия вероятности через отношение равновозможных событий [1]. «Итак, имеется одно общее правило для расчета: необходимо учесть общее число возможных выпадений и число способов, какими могут появиться данные выпадения, а затем найти отношение последнего числа к числу оставшихся возможностей выпадений; приблизительно в такой же пропорции определяются относительные размеры ставок для того, чтобы игра шла на равных условиях». Гюйгенс (1629-1695 гг.) в своей книге «О расчетах в азартных играх» выделил понятие «шанс», которое по существу, есть еще не очень осознанное понятие вероятности [2]. Прайсом под названием «Опыт решения задачи по теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса, члена Королевского общества, сообщено мистером Прайсом в письмах Джону Кентону, магистру искусств, члену Королевского общества» ввел наряду с другими определениями и определение понятия вероятности. Например, если из 10 карт извлекается одна карта и свидетель говорит, что это была именно такая-то карта, то собственно вероятность этого события, которую нужно сопоставить с вероятностью рождающейся из свидетельства, не есть вероятность извлеч эту карту, которая будет , а есть вероятность извлеч эту карту предпочтительно, чем другую какую-либо определенную карту, и так как все эти вероятности одинаковы, то собственно вероятность будет в этом случае …Лаплас (1749-1827 гг.) в своих лекциях под названием «Опыт философии теории вероятностей» вводил следующее классическое определение вероятности: вероятность P(A) события В случае, если мы имеем несколько событий, которые составляют полную систему, но не знаем вероятности каждого события в отдельности, то мы считаем, что все эти события равновероятны. В своей работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» он определяет вероятность, следуя Лапласу: «под словами вероятность разумеют содержание числа благоприятных случаев к числу всех случаев вместе». «Вероятность событий, рассматриваемых в таком виде, как будто прочие события совсем не имели места, называется вероятностью относительного. Вероятность вытащить красный шар ; ; - это все вероятности самостоятельные.На сегодняшний день закрепилось определение понятия вероятности данное А.Н. Уже были вскрыты глубокие аналогии между понятиями теории вероятностей и понятиями метрической теории функций. Были установлены аналогии между множеством и событием, мерой множества и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием и др. Возникла потребность в аксиоматизации теории вероятностей исходя из теоретико-множественных представлений, что и было выполнено в книге Колмогорова. Это положение в аксиоматической теории Колмогорова формализуется таким образом, что каждому событию, которое мы рассматриваем, ставится в соответствие некоторое положительное число, которое называется вероятностью данного события.«Если, стало быть, кто-либо заявит, что он желал бы получить 1, 2 или 3, то ты знаешь, что для этого имеется 27 шансов, а так как вся серия состоит из 36, то остается 9 бросаний, в которых эти числа очков не выпадут; таким образом, эти числа будут находиться в тройном отношении. Если тот, кто ждет выпадения одного из трех указанных чисел очков, поставит три асса (древнеримские медные монеты), а другой один, то сначала первый выиграет трижды и получит три асса, а затем второй выиграет один раз и получит три асса; таким образом, в общем итоге четырех бросаний шансы их всегда сравняются.Предложение 3: «Если число случаев, в которых получается сумма a, равно p и число случаев, в которых получается сумма b, равно q, и все случаи одинаково легко могут произойти, то стоимость моего ожидания равна . Он считает, что математическое ожидание - это цена шанса на выигрыш в безобидной игре и приходит к выводу, что справедливая цена - есть средняя цена. Сам Гюйгенс не называет математическое ожидание ожиданием, оно у него фигурирует как стоимость шанса. Впервые термин «ожидание» появляется в переводе работы Гюйгенса Францем ван Схоутеном. Слово «ожидание» здесь не должно пониматься в его обычном смысле, согласно которому «ожидать» или «надеяться» относится к событию наиболее благоприятному, хотя может произойти наихудшее для нас; нужно понимать под этим словом надежду, которую мы имеем на получение лучшего, уменьшенную страхом худшего.Закон больших чисел
План
Содержание
Введение
1. Динамика развития понятия вероятности
1.1 Первые попытки введения понятия вероятности
1.2 Появление классического определения понятия вероятности
1.3 Первые попытки аксиоматического введения понятия вероятности
1.4 Появление аксиоматического определения понятия вероятности
2. динамика развития понятия математического ожидания
2.1 Предпосылки введения понятия математического ожидания
2.2 Введение понятия математического ожидания и его дальнейшее развитие
3.2 Появление теорем Бернулли и Пуассона - простейших форм закона больших чисел
3.3 Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева
3.4 Закон больших чисел для зависимых случайных величин
3.5 Усиление закона больших чисел. Появление необходимого и достаточного условий закона больших чисел
Заключение
Список источников
Введение
В истории теории вероятностей можно выделить следующие этапы.
1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого теряется в дали веков, ставились и примитивно решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Идет накопление материала. Этот период кончается в XVI в. работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др.
2. Возникновение теории вероятностей как науки. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание. Устанавливаются первые теоремы-теоремы сложения и умножения вероятностей. Начало этого периода связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса. Этот период продолжается от середины XVII в. до начала XVIII в. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.
3. Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли «Искусство предположения» (1713 г.). Это первая работа, в которой была строго доказана предельная теорема - простейший случай закона больших чисел. Теорема Бернулли дала возможность широко применять теорию вероятностей к статистике. К этому периоду относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона и др.; теория вероятностей начинает применяться в различных областях естествознания. Центральное место в этом периоде занимают предельные теоремы.
4. Следующий период развития теории вероятностей связан, прежде всего, с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать такие имена, как Чебышев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. В этот период распространение закона больших чисел и центральной предельной теоремы на различные классы случайных величин достигает своих естественных границ. Законы теории вероятностей стали применяться к зависимым случайным величинам. Все это дало возможность приложить теорию вероятностей ко многим разделам естествознания, в первую очередь - к физике. Возникает статистическая физика, которая развивается во взаимосвязи с теорией вероятностей.
5. Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого в первую очередь требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей к физике, биологии и другим областям науки, а также к технике и военному делу необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с теорией множеств, а через нее-с другими математическими дисциплинами. Это обусловило небывалую широту исследований по теории вероятностей, начиная от хозяйственно - прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими вопросами кибернетики. Первые работы этого периода связаны с именами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30-е годы XX в., когда была опубликована, и получила всеобщее признание аксиоматика А.Н. Колмогорова.
В последние время наметились новые подходы к основным понятиям теории вероятностей. Об этом свидетельствует появление теории надежности, теории информации, теории массового обслуживания и т.п.
Мы же рассмотрим динамику развития определения понятия вероятности; такого понятия в теории вероятностей, как математическое ожидание, а также известного закона больших чисел.
Проследив развитие этих понятий от простейших представлений до законченных и обдуманных их форм, мы сможем глубже понять их смысл, что, несомненно, важно с методической точки зрения.