Исследование и анализ динамического поведения механической системы с упругими связями с помощью основных теорем и принципов теоретической механики. Составление дифференциального уравнения движения механической системы и определение реакций движения.
Аннотация к работе
Наличие упругих связей в механической системе в сочетании с внешним периодическим воздействием может привести к дополнительным колебательным движениям ее элементов. Поэтому теория колебаний и, в частности, раздел, посвященный малым линейным колебаниям, имеет много важных приложений в различных областях науки и техники. Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин: • с помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах; Поэтому инженер-исследователь стремится по возможности описать поведение системы с помощью линейной модели для облегчения процедуры анализа ее движения. Конструктивные параметры механических систем (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне.Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы: это обеспечивается условиями, принятыми при формулировке задания, - тела являются абсолютно твердыми, нити - нерастяжимыми и всегда натянутыми, проскальзывание при движении катка отсутствует. Для составления дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: (1) где: T - кинетическая энергия системы, - сумма мощностей внешних сил, - сумма мощностей внутренних сил. Каток 4 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия равна: Тогда кинетическая энергия всего механизма имеет вид: (2) Блок 3 - сплошной однородный цилиндр, для катка 4 известен радиус инерции, поэтому моменты инерции этих тел относительно осей, проходящих через их центры масс и перпендикулярных плоскости чертежа, будут вычисляться: Подставляя моменты инерции и выражения (3) в формулу (2), получим полную кинетическую энергию системы: (4) где величина называется приведенной массой. кг Теперь вычислим правую часть уравнения (1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил, при этом учтем, что мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность пары сил - скалярному произведению вектора пары на угловую скорость твердого тела, к которому приложена пара: Или Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, так как входящие в систему тела абсолютно твердые, а нити - абсолютно гибкие и нерастяжимые.Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и построим расчетные схемы для каждого тела (рис.3). На расчетных схемах, помимо ранее введенных сил, показаны реакции (силы натяжения) нитей, связывающих груз и блок 2, блок 2 и горизонтальную поверхность, блоки 2 и 3, блок 3 и каток 4: .Решение таких уравнений можно найти аналитически. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (11) складывается из общего решения однородного уравнения Данное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (16). Это уравнение имеет два корня: Вид общего решения уравнения (16) зависит от типа корней его характеристического уравнения. Возможны следующие случаи: 1) n<k-корни характеристического уравнения комплексные сопряженные: и общее решение однородного уравнения имеет видНиже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура вычисления закона движения груза, его скорости и ускорения, а также динамических реакций внешних и внутренних связей.Математическая модель, описывающая поведение исследуемой механической системы, построена при следующих основных допущениях: 1) каток 4 движется без проскальзывания, т.е. модуль силы сцепления подчинен следующему ограничению: где - предельное значение силы сцепления; в нашем случае 2) кинематические связи, наложенные систему, являются голономными (интегрируемыми), поэтому нити при движении системы всегда натянуты, т.е. реакции нитей всегда должны быть положительными. 3) колебания системы являются линейными, то есть предполагается, что удлинение пружины (перемещение центра масс катка 4) не превышает своего предельного значения: Анализ результатов расчета (в свете перечисленных требований к поведению механической системы) приводит к логическому выводу: так как в некоторые моменты времени силы натяжения (реакции) нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение, то математическая модель системы не соответствует ее реальному поведению, - нити провисают, тела движутся рывками, а каток - с проскальзыванием.
План
Содержание
1. Составление дифференциального уравнения движения механической системы
2. Определение реакций внешних и внутренних связей
3. Определение закона движения системы
4. Результаты расчетов
5. Анализ результатов вычислений
6. Результаты анализа
Выводы
Вывод
В результате решения дифференциального уравнения движения системы (11) при начальных условиях (12) определен закон движения системы S=S(t), на основании которого по разработанному алгоритму вычислены значения реакций связей.
Анализ результатов расчета показал, что в некоторые моменты времени натяжения нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение, и, следовательно, принятая математическая модель не соответствует поведению механической системы: нити провисают, тела движутся рывками, а каток 4 - с проскальзыванием.
Для устранения этой ситуации были сформулированы критерии, удовлетворение которых обеспечивает адекватность движения системы математической модели, т.е. выполнение условий (25).
Исследование влияний масс груза 1 и катка 4 на движение системы позволило определить область значений масс для них, внутри которой выполняются указанные условия.
Исследования показали, что такая область существует лишь в послерезонансном режиме.
Результаты расчетов скорректированной механической системы представлены в виде графиков изменения характерных параметров в зависимости от времени.
Область допустимых значений для масс груза и катка представлена ниже: