Аттрактор Лоренца і хаос в рідині. Відображення нелінійних коливань. Перемежана і перехідний хаос. Тривимірні пружні стрижні і струни. Хаос в матричному друкуючому пристрої. Фізичні експерименти з хаотичними системами. Фрактальні властивості хаосу.
Аннотация к работе
Якщо задані сили, що діють між частками, а також початкові положення і швидкості часток, то за допомогою достатнього великого компютера можна передбачити рух або розвиток системи для будь-якого скільки завгодно пізнього часу. Проте поява великих компютерів і швидких компютерів не привела до обіцяної нескінченної передбаченості в динаміці. Було виявлено що рух деяких дуже простих динамічних систем не завжди можна передбачити на великий інтервал часу.Простим прикладом динамічної моделі, що виявляє хаотичну поведінку є логістичне рівняння, або рівняння зростання популяції: xn 1 = axn - bx2n (1.1) Перший член в правій частці описує зростання або народження, а нелінійний член ответствен за обмеження зростання, звязане, наприклад, з обмеженістю енергетичних або харчових ресурсів. Для зясування стійкості відображення xn 1 = f (xn) слід обчислити величину нахилу | f’ (x) | у точці спокою. При 1 <_ <3 логістичне рівняння (1.3) має дві точки спокою: х = 0, (_ - 1) /_; при цьому початок координат - нестійка крапка, а друга точка спокою стійка. При подальшому збільшенні _ двоперіодична орбіта стає нестійкою і виникає цикл з періодом 4, який унаслідок біфуркації швидко замінюється циклом з періодом 8 при ще більших значеннях _.Лоренц з Массачусетсського технологічного інституту запропонував просту модель теплової конвекції в атмосфері. Такі рухи часто організовуються в конвективні валики, подібні до рухів рідини в тривимірному торі, показаному на рис. У математичній моделі конвекції, яку запропонував Лоренц, використовуються три змінні (х, біля, z), що описують стани системи. Змінна х пропорційна амплітуді швидкості, з якою рідина циркулює в рідкому кільці, а змінні біля і z відображають розподіл температури по кільцю. Так звані рівняння Лоренца можна формально отримати з рівняння Навьє - Стоксу, рівняння в приватних похідних механіки рідини.Допустимо, що виділена деяка послідовність моментів часу t0, t1, t2 ..., і систему (1.7) удається звести до дискретної системи яка звязує значення змінних (I ?) в двох послідовних моментах часу. Зручно ці рівняння записати в такій формі: (1.9) де індекс n опущений, межа стоїть замість індексу n 1 і g1, g2 - функції, залежні від виду обурення. У гамильтоновском випадку відображення (1.9) повинне зберігати міру, тобто повинна виконуватися умова Її зміна має бути повязане з деякою неадіабатичністю руху. У неадіабатичному випадку вважатимемо, що зміна дії в основному відбувається в деякій області часу st, в якій порушується адіабатична інваріантність.Парадокс повязаний з тим, що система (1.26) здійснює инфинитное рух, в якому траєкторії можуть розходитися достатньо далеко і достатньо швидко із-за необмеженості фазового простору. Ситуація змінюється, якщо замість (1.26) розгледіти систему, фазовий простір якого фінітного Дуже важлива умова, що накладається на розглядувані далі системи, - финитность їх динаміки у фазовому просторі. Система наближається до деякого сталого режиму, точки якого належать безлічі А , що є аттрактором. На перший погляд здається, що існування аттракторов виключає можливість стохастичної динаміки у фазовому просторі, оскільки з часом відстань між крапками фазової траєкторії і точками безлічі А повинно прагнути до нуля.Перехідний хаос спостерігається також в деяких системах як передвісник стаціонарного хаосу. За певних початкових умов система може поводитися квазівипадковим чином, тобто її траєкторії можуть рухатися у фазовому просторі, неначебто вони знаходилися на дивному аттракторе, але через деякий час рух виходить на регулярний аттрактор, як в разі періодичних коливань. Інколи для експериментального визначення критичного параметра для перемежаної і перехідного хаосу використовуються властивості подібності нелінійного руху. В разі перемежаної, коли поведінка системи близька до періодичного руху, але час від часу зазнає короткі сплески перехідного хаосу, пояснення такої поведінки в термінах одновимірних відображень, або різницевих рівнянь, була дане Манневілем і Помо. Як показали чисельні експерименти з відображеннями, середня тривалість періодичного руху між двома послідовними хаотичними сплесками складає величинуПо суті справи, саме пошук вирішень рівнянь небесної механіки привів в кінці XIX ст деяких математиків, наприклад Пумнкаре, до припущення, що вирішення багатьох завдань динаміки чутливі до початкових умов і тому деталі руху тіл по орбітах виявляються непередбачуваними. Хоча в більшості земних динамічних систем відбуваються деякі втрати енергії, в деяких з них, як, наприклад, в структурованих конструкціях або мікрохвильових резонаторах, загасання дуже слабо, і на кінцевих інтервалах часу вони можуть поводитися як консервативні або гамильтоновы системи. Системи, в яких зберігається енергія, в типових випадках виявляють тих же типів обмежених коливальних рухів, що і системи з втратами. Одна з основних відзнак між коливаннями в системах з втратами і без них полягає в тому, що хаотичні орбіти в системах з втратами виявляють фрактальну структуру
План
ПЛАН
Вступ
1. Відображення і потоки
1.1. Три образи хаосу
1.2. Аттрактор Лоренца і хаос в рідині
1.3. Універсальне відображення для нелінійних коливань