Нормированное пространство – одно из основных понятий функционального анализа, дифференцирование. Формула конечных приращений; связь между слабой и сильной дифференцируемостью. Абстрактные функции; интеграл; производные и дифференциалы высших порядков.
Аннотация к работе
Оператор называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство: Определение 5. Пусть X и У - два нормированных пространства и F - отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке , если существует такой ограниченный линейный оператор Lx ж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство Выражение Lxh (представляющее собой, очевидно, при каждом h X элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке хо, a G дифференцируемо в точке уо, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х0) дифференцируемо в точке хо и H" (x0)=G" (y0)F" (x0) (4)В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.
План
Оглавление
Введение
Основные понятия
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)
Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
Формула конечных приращений
Связь между слабой и сильной дифференцируемостью
Дифференцируемые функционалы
Абстрактные функции
Интеграл
Производные высших порядков
Дифференциалы высших порядков
Формула Тейлора
Заключение1
Список литературы:
Вывод
В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.
Некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах.
К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIII вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.
Список литературы
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. - 475 с.
2. Шилов Г.Е. - Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. - 118стр.
3. Банах С. - Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. - 424стр.