Вычисление градиента, дивергенции и ротора однократным дифференцированием функций. Дифференциальные операций и операторы второго порядка. Выполнение условий дифференцируемости и непрерывности. Оператор Лапласа, градиент дивергенции, формулы Грина.
Аннотация к работе
Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка. Для скалярного поля был введен один оператор первого порядкаСуществует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции . Используя оператор "набла", имеем Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка: дифференциальная операция градиент дивергенцияРассмотрим операцию . В прямоугольной декартовой системе координат имеемНайдем дивергенцию ротора с помощью оператора "набла": . В выражении рассматривается смешанное произведение трех векторов , и .Для операции можно также использовать оператор "набла": , Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования. Из полученного результата можно получить важное следствие. Полученный результат сформулируем в виде теоремы: Теорема 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Эта формула называется первой формулой Грина. Эта формула называется второй формулой Грина. Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.
План
Содержание
Введение
1. Оператор Лапласа
2. Градиент дивергенции
3. Дивергенция градиента и ротора
4. Ротор градиента и ротора
5. Формулы Грина
Список использованной литературы и источников
Введение
Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.
Для скалярного поля был введен один оператор первого порядка
.
Для векторного поля введены два оператора первого порядка
.
Повторное применение оператора "набла" приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.
Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка: 1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.
2. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: "Высшая школа", 1976, 390 с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.
5. Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики" В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
6. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСИС, 2002, 29 с.
7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСИС, 2004, 54 с.