Примеры скалярных полей. Производная в точке в направлении орта. Операторы дифференцирования или Гамильтона. Напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде. Дивергенция и ротор. Символ Кронекера. Некоторые свойства оператора набла.
Аннотация к работе
Полное определение тензора мы дадим в курсе тензорного анализа, а сейчас под тензором будем понимать физическую величину, которая может быть задана в виде числа (скаляра), вектора, матрицы или более сложного образования. В пространстве (среде) задано поле тензора , если этот тензор определен в каждой точке пространства В качестве можно выбрать скаляр, вектор или тензор более высокого ранга. Если направление задается вектором , то .
Введение
Для описания физических величин удобно использовать понятие поля. Простейшими физическими величинами являются скаляр и вектор. Их обобщением является тензор. Полное определение тензора мы дадим в курсе тензорного анализа, а сейчас под тензором будем понимать физическую величину, которая может быть задана в виде числа (скаляра), вектора, матрицы или более сложного образования.
Определение 1. В пространстве (среде) задано поле тензора , если этот тензор определен в каждой точке пространства
.
В качестве можно выбрать скаляр, вектор или тензор более высокого ранга. Рассмотрим основные свойства поля и его характеристики.
1. Скалярное поле
Определение 1. Поле называется скалярным, если в каждой точке пространства определено значение скалярной величины .
Поле может зависеть также и от времени
.
Здесь t играет роль параметра. Примеры скалярных полей: температура в каждой точке сплошной среды, плотность вещества или электрического заряда (как функция координат точек среды), электрический потенциал,…
Определение 2. Поверхностью уровня скалярного поля называется совокупность точек удовлетворяющих уравнению
, где С - некоторая постоянная.
На плоскости уравнение определяет линии уровня.
Выберем в пространстве некоторое направление l, которое задается единичным вектором (ортом) . Рассмотрим две точки М и , лежащие на этой линии
Определение 3. Производной от функции по направлению l называется предел
.
Эта величина характеризует быстроту изменения функции в направлении . Имеем
, , , , .
Если направление задается вектором , то
.
Аналогично, для и для
.
Определение 4. Градиентом скалярной функции называется вектор
.
В математике часто используется символ (читается «набла»)
, который называют оператором дифференцирования или оператором Гамильтона. С помощью этого оператора градиент функции может быть записан в виде
.
Теорема 1. Производная скалярного поля в точке М в направлении орта равна проекции градиента поля на направление орта .
Доказательство. Производную по направлению, определяемому ортом , можно записать в виде скалярного произведения
С другой стороны где ? - угол между векторами е и .
Максимальное значение достигается при , когда . Следовательно, градиент функции указывает направление максимального возрастания этой функции.
2. Векторное поле
Определение 1. Поле называется векторным, если в каждой точке пространства определено значение векторной величины .
Примеры векторных полей: напряженность электрического поля, поле скоростей в движущейся среде, напряженность магнитного поля,…
Определение 2. Векторными линиями поля называются кривые, касательные в каждой точке которых совпадают с направлениями вектора в этой точке. На рисунке показано поле скоростей движущейся жидкости.
В электростатике векторные линии называют силовыми линиями или линиями напряженности электрического поля.
Теорема 1. Если задано векторное поле , то векторные линии этого поля описываются системой дифференциальных уравнений
.
Доказательство. На рисунке в точке М показаны элемент длины векторной линии и вектор поля .
Запишем условие параллельности двух векторов: .
Если векторное поле определяет скорость движения среды , то векторные линии называются линиями тока.
Пример 1. Найти векторную линию векторного поля , проходящую через точку .
Решение. Имеем систему дифференциальных уравнений с начальными условиями
.
Проинтегрируем систему: , .
Используем начальные условия: ; .
Ответ: .
Пример 2. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости .
Ответ: .
3. Дивергенция и ротор векторного поля
Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.
Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве.
Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением
.
При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла
.
Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F. Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле .
Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке .
Ответ: .
Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением
.
Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила .
Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла
.
Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля , поэтому иногда его называют вихрем и обозначают CURLF.
Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке .
Ответ: , .
Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля . В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей
.
Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения
, полагая . Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».
Пример 1. Вычислить градиент векторного поля .
Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем
.
Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.
Ответ: .
Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и .
4. Некоторые свойства оператора набла
Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования
.
С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях: , , .
Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной: 1) производная суммы равна сумме производных
;
2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора
.
В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид: , , , , , .
Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.
Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.
1) , ;
2) , ;
3) , 4) , ;
5) , .
Доказательство этих равенств можно произвести как непосредственным вычислением соответствующих функций, так и с помощью оператора «набла». Рекомендуется самостоятельно проверить справедливость записанных равенств двумя методами.
В качестве примера, показывающего необходимость аккуратного обращения с оператором Гамильтона, вычислим градиент скалярного произведения двух векторных функций . Формально, используя свойства оператора дифференцирования, можно записать
.
Если считать , , то получим неправильный результат
.
Ошибка здесь заключается в том, что выражение следует понимать как , т.е. как градиент векторной функции (специального обозначения для этого объекта нет). Правильным будет выражение
, где точка означает свертку тензора с вектором (свертка является обобщением понятия скалярного произведения). Более удобной здесь является тензорная форма записи
.
Здесь по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3.
Список литературы
скалярный поле дифференцирование кронекер
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.
2. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.
5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
6. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСИС, 2002, 29 с.
7. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСИС, 2004, 54 с.