Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний - Дипломная работа

Задачи же акустической диагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. Хорошо известно, что только на основе теории колебаний могут быть полностью выяснены такие практически важные проблемы, как уравновешивание машин, крутильные колебания валов и зубчатых передач, колебания турбинных лопаток и турбинных дисков, прецессия вращающихся валов, колебания рельсового пути и мостов под действием движущихся грузов, колебания фундаментов. Другое важное использование задач определения характеристик вала с дисками - виброзащита механических систем, составляющими которых являются валы с дисками. Поэтому возникает задача определения таких жесткостей участков валов на кручении или моментов инерции масс дисков, которые обеспечивали бы нужный диапазон частот колебаний вала. В соответствие с целью были поставлены и решены задачи: · исследование задачи определения собственных частот крутильных колебаний вала с различным количеством дисков (с двумя, тремя, четырьмя, n-дисками) по известным моментам инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении;Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенный на чертеже, получил в плоскости вращения, которой является плоскость, перпендикулярная чертежу, перемещения на угол . На тот же угол повернется и жестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будет совершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся в повторных вращательных движениях. Нагрузкой, вызывающей единицу статической деформации, т. е. угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторый момент; будем обозначать этот момент буквой k и называть жесткостью вала на кручение. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорение обозначить и момент инерции диска относительно продольной вертикальной оси валаПусть углы закручивания вала в местах насадки диска будут соответственно Жесткости I, II,..., n-1 участков вала, т. е. на основе обозначения (1.1) моменты, которые могут вызвать угол закручивания данного участка равный одному радиану, обозначим: k1, k2,…, кп-1. Кинетическая энергия нашей системы слагается из суммы кинетической энергии всех дисков (кинетическую энергию вала мы тут не учитываем, считая момент инерции диска большим по сравнению с моментом инерции вала). Найдем крутящий момент и угол закручивания для первого участка нашей системы. Для того чтобы вызвать угол закручивания первого участка вала величиной в I радиан, необходимо приложить крутящий момент величины k1, если же, как в нашем случае угол закручивания имеет 1-2 радиан, то на валу действует крутящий момент величины (2.11) необходимо найти частные производные от кинетической и потенциальной энергии системы, по обобщенным координатам и частные производные от кинетической энергии по дифференциалам обобщенных координат: Дифференцируя уравнение (2.6) найдем: ;Рассмотрим применение метода решения прямой задачи по определению собственных частот крутильных колебаний вала с дисками на конкретных примерах. Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями и . Корни данного уравнения, найденные в пакете Maple, имеют вид: p1=-1.667566013, p2=1.667566013, p3=-0.8480705122, p4=0.8480705122 Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями и . Определить собственные частоты системы, состоящей из четырех дисков с моментами инерции масс: , укрепленных на стальном валу с жестокостями , и .Поставим теперь к задаче определения частот крутильных колебаний вала с дисками обратную спектральную задачу. Поскольку изменения величин моментов инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. п.При исследовании задачи о колебаниях вала с тремя дисками получено следующее частотное уравнение (2.17): Здесь, по-прежнему, k1, k2. Если рассмотреть две собственные частоты р1 и р2, то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k1, k2 . Разделим обе части последнего равенства на : Выразим : , (3.2) и подставим его в первое уравнение системы (3.1): Преобразуем последнее равенство к виду: Решая последнее уравнение относительно , получим Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) однозначно определяют коэффициенты жесткости участков вала на кручении для вала с тремя дисками. Поставим теперь подобную обратную задачу для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение для крутильных колебаний которог

Содержание

Введение

1.Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками

1.1 Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском

1.2 Решение прямой задачи для вала с n-дисками

1.3 Колебания вала с тремя дисками

1.4 Колебания вала с четырьмя дисками

1.5 Применение метода решения прямой задачи, программная реализация решения

2.Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот колебаний

2.1 Постановка обратной спектральной задач

2.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками

2.3 Диагностирование моментов инерции масс дисков

2.4 Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения

Заключение

Список литературы

Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний является актуальной в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики составляющих технических конструкций и виброзащиты механических систем.

Задачи же акустической диагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. С увеличением размеров и скоростей современных машин в инженерных расчетах становится все более и более важным решение задач, связанных с колебаниями. Хорошо известно, что только на основе теории колебаний могут быть полностью выяснены такие практически важные проблемы, как уравновешивание машин, крутильные колебания валов и зубчатых передач, колебания турбинных лопаток и турбинных дисков, прецессия вращающихся валов, колебания рельсового пути и мостов под действием движущихся грузов, колебания фундаментов. Лишь при помощи этой теории можно установить наиболее удачные пропорции конструкций, отодвигающие эксплуатационные условия работы машин возможно дальше от условий возникновения больших колебаний.

Другое важное использование задач определения характеристик вала с дисками - виброзащита механических систем, составляющими которых являются валы с дисками. Колебания валов приводят порой к дребезжанию, лишнему шуму. Связано это с тем, что спектры частот колебаний иногда находятся в опасном для здоровья человека диапазоне. Для изменения частот колебаний вала не всегда бывает целесообразно менять его длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому возникает задача определения таких жесткостей участков валов на кручении или моментов инерции масс дисков, которые обеспечивали бы нужный диапазон частот колебаний вала. Эта проблема связана с научными задачами шумоподавления, акустической диагностики и теории обратных задач математической физики. Решению подобной проблемы и посвящена представленная работа. Прямая задача по определению спектра частот колебаний вала с дисками рассмотрена в учебниках по теории колебаний. Но обратная задача по диагностированию характеристик вала с дисками не исследована.

Задачам технической диагностики посвящено большое количество работ. Процессы, протекающие в механизмах и двигателях, являются источником шума. Наука, изучающая возможности распознавания характеристик элементов механической системы по его шуму, носит название виброакустической диагностики. Задачи виброакустической диагностики могут быть различными. В работе Кузьмина Р.В. [14], например, рассматривались задачи обнаружения дефектов в судовых механизмах по шуму, вызываемому упругими колебаниями от соударения сопряженных деталей. Аналогичные задачи обнаружения неисправностей решены в работах Бухтиярова И.Д., Аллилуева В.А.[9], но уже для поиска дефектов в автотракторных двигателях. В трудах Биргера И.А. [8], Артоболевского И.И., Бобровницкого Ю.И., Генкина М.Д.[1], Павлова Б.В.[16] также решались задачи акустической диагностики механизмов.

Большое количество работ по виброакустической диагностике посвящено не только выявлению состояния двигателя по его шуму, но и также вопросам шумоподавления, это работы, например, Зинченко В. И.[12], Лапина А.Д. [15]. Близкие проблемам виброакустической диагностики задачи возникали также и в других работах. Так в работе Кас М.[26] ставился вопрос: можно ли по звучанию барабана установить его форму? Статья W. U. Qunli и F. Fricke [27] посвящена определению размера объекта и его положения в камере по сдвигам собственных частот его колебаний, а статья Васильева Н.А., Дворникова С.И. [10] - способу обнаружения шпал, потерявших плотный контакт с балластом насыпи, при помощи ударного возбуждения колебаний и анализа акустических сигналов. В работах Frikha S., Coffignal G., Trolle J.L.[24, 25] исследовались условия на входе и выходе выхлопных труб и трубопроводных систем, в трудах Аксенова А.Л., Тукмакова И.Б. [21,22] - задачи идентификации объектов по их акустическому отклику. Задачи акустической диагностики закреплений по одному спектру для струн, мембран, стержней, пластин рассматривались А.М. Ахтямовым [2-6, 23], а Г.Ф. Сафиной [18-20] - для полых труб и трубопроводов с жидкостью. В отличие от всех работ по диагностике, в представленной работе отыскиваются не форма области, размеры объекта, его местоположение или состояние, а коэффициенты упругих закреплений и моменты инерции масс дисков. Такая задача для вала с дисками ставится впервые.

Целью научной работы является нахождение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками и диагностирование по спектру частот моментов инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении. В соответствие с целью были поставлены и решены задачи: · исследование задачи определения собственных частот крутильных колебаний вала с различным количеством дисков (с двумя, тремя, четырьмя, n- дисками) по известным моментам инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении;

· исследование задачи диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала;

· исследование задачи диагностирования жесткости участков вала на кручении по собственным частотам колебаний вала.

· разработка математических моделей решения поставленных задач; аналитическое и численное исследование моделей.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что впервые исследованы и решены задачи диагностирования по спектру частот колебаний вала с дисками таких характеристик, как моменты инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении.

Практическая значимость результатов состоит в том, что разработанные методы решения задач относятся к акустической диагностике недоступных для визуального осмотра элементов механических систем и технических конструкций, составляющими которых являются валы с дисками. Поскольку изменения величин коэффициентов жесткости участков вала или моментов инерции дисков могут характеризовать степень изношенности, неисправности и т.п., то полученные результаты по решению обратных задач применимы для диагностирования указанных характеристик вала с дисками без дорогостоящей разборки всей механической системы

Полученные результаты можно также использовать для сохранения заданного диапазона частот колебаний вала с дисками. В работе предложено сохранение диапазона частот с помощью изменений значений моментов инерции масс дисков или коэффициентов жесткости участков вала на кручении.

Результаты исследований по решению прямой спектральной задачи докладывались на секции «Дифференциальные уравнения и теория операторов» Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», которая проходила с 30 октября по 3 ноября 2007 года на базе Башкирского государственного университета. Есть две публикации по теме исследования.

Первая глава работы посвящена прямой задаче определения собственных частот крутильных колебаний вала с дисками по известным моментам инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение сводится к системе n - обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственных частот крутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнения для вала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления, составлена программа в математическом пакете Maple.

Во второй главе приведена постановка обратной спектральной задачи диагностирования характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний. Алгоритм диагностирования сведен к решению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задача решена для вала с тремя, четырьмя дисками. В этой же главе диагностируются коэффициенты жесткостей участков вала при кручении между дисками. Для решения обратных задач составлены программы в математическом пакете Maple.

В заключение работы сделаны выводы по полученным результатам решений прямой и обратной задач. Проанализирована практическая значимость полученных результатов задачи диагностирования.