Розв’язання параболічних задач на рімановому многовиді недодатної секційної та швидкоспадної скалярної кривизни. Доведення існування стрибка потенціалу подвійного шару. Побудова фундаментального розв’язку параболічного рівняння зі зсувом на многовиді.
Аннотация к работе
У дисертаційній роботі розвязано деякі задачі для параболічного рівняння на рімановому многовиді = Du, яке будемо називати самоспряженим або рівнянням без зсуву, та для параболічного рівняння зі зсувом Наведені рівняння є фактично лінійними параболічними рівняннями зі змінними коефіцієнтами, коли c(x) ? 0. Подальший розвиток в цій галузі відбувався в двох напрямках: послаблення умов на коефіцієнти та перехід до рівняння на многовиді. Матійчук у циклі робіт вивчав спосіб побудови та властивості фундаментальних розвязків рівнянь з розривними коефіцієнтами та їх застосування до граничних задач. Варадан довів, що для замкненого многовиду . з рівномірно неперервним за Гьольдером метричним тензором має місце асимптотика, p(t, x, y) - фундаментальний розвязок самоспряженого рівняння, а r(x, y) - геодезична відстань на многовиді.У другому розділі сформульовано умови на многовид M, з яким будемо працювати: 1а) AR(x)(U,V)U,Vn ? 0 для всіх x I M, U, V I TXM, тобто секційна кривизна многовиду недодатна; Коли многовид M задовольняє умови 1, а підмноговид S - умови 2, потенціал подвійного шару визначений всюди в (t1, ?) ? M і зазнає стрибка при переході через S. Якщо виконуються умови 1 на многовид M та умови 2 на підмноговид S, мають місце такі оцінки: |h1(x, x0, y)| ? c3 (d 3/6 d 2r0 /12 dr02 /2) d 2/2 dr0, |h2(x, x0, y)| ? c3 (d 4/12 d 3r0 /3 d 2r02 /2) d 3/6 d 2r0 /2, f (x, y) ? c4/4 (r0 d)2, де для скорочення виразів введено позначення r0 = r (x, x0), d = d(x0, y). Коли многовид M задовольняє умови 1, а підмноговид S - умови 2, розвязок задачі (3) існує і визначається потенціалом подвійного шару u(t, x) = ..(t, y).(t-t, x, y) DSY, де p(t, x, y) - фундаментальний розвязок рівняння (1), DSY - елемент площі поверхні S, ny - зовнішня одинична нормаль до підмноговиду S в точці y в метриці многовиду M. Якщо підмноговид S задовольняє умови 2, а многовид M - умови 1, то справедлива така оцінкаУ дисертаційній роботі дано вирішення таких задач для параболічного рівняння на многовиді недодатної секційної кривизни. Методами ріманової геометрії на многовидах вперше доведено наявність стрибка потенціалу подвійного шару самоспряженого рівняння при переході через підмноговид, на якому задано граничні умови. Існування такої властивості потенціалу подвійного шару дозволяє розвязати першу граничну задачу методом потенціалів. Доведено існування розвязку першої граничної задачі для самоспряженого параболічного рівняння, який будується методом потенціалів. Хоча доведення проведене за відомою схемою, однак цей факт для рівняння на многовиді встановлено вперше.
План
2. Основний зміст роботи
Вывод
У дисертаційній роботі дано вирішення таких задач для параболічного рівняння на многовиді недодатної секційної кривизни.
1. Методами ріманової геометрії на многовидах вперше доведено наявність стрибка потенціалу подвійного шару самоспряженого рівняння при переході через підмноговид, на якому задано граничні умови. Доведення здійснено для підмноговидів, які мають властивості поверхні Ляпунова. Встановлено, що стрибок має таку саму величину, як і в евклідовому випадку. Існування такої властивості потенціалу подвійного шару дозволяє розвязати першу граничну задачу методом потенціалів.
2. Доведено існування розвязку першої граничної задачі для самоспряженого параболічного рівняння, який будується методом потенціалів. Хоча доведення проведене за відомою схемою, однак цей факт для рівняння на многовиді встановлено вперше. Водночас отримано верхню оцінку розвязку на малих часах.
3. Вперше запропоновано та обґрунтовано процедуру побудови фундаментального розвязку для параболічного рівняння зі зсувом. Досі фундаментальний розвязок було побудовано лише для самоспряженого рівняння. Побудову здійснено методом збурень за різних початкових наближень. Знайдено початкове наближення, що дає невязку без особливостей. За різних умов на поле зсуву отримано оцінки фундаментального розвязку та невязок.
4. Вперше отримано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розвязку параболічного рівняння зі зсувом. Подібний результат було відомо лише для самоспряженого рівняння. Логарифмічний градієнт представляється сумою двох векторних полів: відомого та обмеженого. Отримане представлення, зокрема, може бути використане при побудові розвязку першої граничної задачі для параболічного рівняння зі зсувом методом потенціалів.
Список литературы
1. Бернацька Ю. М. Поведінка потенціалу подвійного шару для параболічного рівняння на многовиді // Укр. мат. журн.- 2003, Т.55.- № 5.- С. 590-603.
2. Бернацкая Ю. Н. Оценка фундаментального решения параболического уравнения со сносом наримановом многообразии // Сиб. мат. журн.- 2003, Т. 44.- № 3.- С. 493-512.
3. Бернацкая Ю. Н. Метод возмущений для параболического уравнения со сносом наримановом многообразии // Укр. мат. журн.- 2004, Т.56.- № 2.- С. 147-158.
4. Бернацкая Ю. Н. Логарифмический градиент ядра теплопроводности уравнения со сносом наримановом многообразии // Сиб. мат. журн.- 2004, Т.45.- № 1.- С 16-25.
5. Бернацька Ю. М. Перша гранична задача для параболічного рівняння на многовиді // IX Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, 2002.- С. 20.