Деякі властивості функцій, аналітичних у півплощині, та їх застосування - Автореферат

Берлінга, яка дає критерій повноти системи многочленів з вагою у просторі Гарді у крузі. Із цієї теореми випливає, що рівняння (0.1) має ненульовий розвязок у класі L2(-Ґ;0) тоді і тільки тоді, коли функція G задовольняє принаймні одну з наступних умов: а) G має хоч один нуль в C ; Доведення теореми Берлінга-Лакса базується на результатах класичної теорії просторів Гарді, зокрема на теоремах Пелі-Вінера та факторизаційній теоремі. Винницький встановив аналог теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі а також аналог еквівалентності умов 1) і 3) теореми Берлінга-Лакса. Метою дисертації є розвиток теорії експоненціально-вагових просторів Гарді у півплощині та її застосувань , що передбачає вирішення таких задач: - одержання аналогу теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі на півплощину для просторуУ вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.Функції f із простору Hsp (C ) мають майже скрізь на ¶C кутові граничні значення, які позначаємо через f(iy) або f0(iy) і FOLSP(¶C ) Тут через Lsp(¶C ), 0Јs< Ґ, позначаємо простір таких функцій f:¶C ® C, що f(iy)exp(-s|y|)OLP(R). Для того, щоб функція f0О Ls1(¶C ) була кутовою граничною функцією деякої функції FOHS1 (C ), необхідно і досить, щоб знайшлась така функція f2, що виконуються умови: а) f2OH2s1 (C ); Якщо для функції f0О Ls1(¶C ) виконуються умови а)-в) попередньої теореми і д) f2(u)ln(2 u)OL1(0; Ґ), то існує функція Якщо для функції f0О Ls1(¶C ) знайдеться така функція f2, що виконуються умови а)-в) теореми 2.1 і е) для f2 існує скінченна лінійна комбінація g(z) функцій системи Навпаки, якщо функція FT0 задовольняє умову (6), то вона подається у вигляді (5), де f0-кутова гранична функція на ¶C функції f, h-її сингулярна гранична функція, причому h"(t)=0 для майже всіх TOR, (ln) - послідовність нулів функції f і виконуються умови (2)-(4), причому добутки та інтеграли в (5) збігаються абсолютно та рівномірно на кожному компакті із C .Винницький показав, що рівняння (8) має лише нульовий розвязок тоді і тільки тоді, коли система (7) є повною в Hs2(C ), де Теорема 3.1 Нехай функція GO E*2[Ds] є такою, що для функції G, визначеної рівністю (9), справедливе представлення є) G=G -G_, де G (z)e-is z OH2(C ), G_(z)eisz OH2(C ). Нехай функція GOE*2[Ds] така, що для функції G, визначеної рівністю (9), виконується умова ж) G(x)ln (2 x)О L2(0; Ґ). Тоді для того, щоб функція FOE2[Ds ] була розвязком рівняння (8), необхідно і досить, щоб функція F(iy), визначена рівністю (12), була кутовою граничною функцією на ¶ C такої функції Для того, щоб рівняння (8), мало нетривіальний розвязок у класі E2[Ds ], необхідно і досить, щоб існувала така функція FOE2[Ds ], f№ 0, що функція F1(iy), визначена рівністю (12), є кутовою граничною функцією на ¶ C такої функції P1, що P1(z)e-isz e-c1ZOHS2 (C ) для деякого с1і0.У дисертаційній роботі вивчаються властивості раніше розглянутого Б.Винницьким простору Одержано розвязок ряду актуальних задач в цьому напрямку, і, зокрема, вперше отримано: I) узагальнення теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі для простору V) опис функцій в Hs2(C ), для яких система експонент з вагою повна в Hs2(C ) і відповідне рівняння типу згортки має лиш тривіальний розвязок. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях умов повноти систем аналітичних функцій, а також при розвязуванні рівнянь типу згортки, в теорії інтерполяції.

Основний зміст роботи

У дисертаційній роботі вивчаються властивості раніше розглянутого Б.Винницьким простору

Hsp (C ), 1Ј р< Ґ, 0<s< Ґ, який з одного боку є узагальненням класичних просторів Гарді у півплощині, а з іншого аналогом для півплощини класу Пелі-Вінера цілих функцій. Одержано розвязок ряду актуальних задач в цьому напрямку, і, зокрема, вперше отримано: I) узагальнення теореми Пелі-Вінера про продовження функції з уявної осі для простору

Hs1 (C ),s>0;

II) факторизацію та повний опис повних мір, за термінологією А.Гришина, функцій з простору

Hsp (C ), 1Ј p0;

III) критерій існування нетривіальних розвязків рівняння типу згортки і повноти систем експонент з вагою в

Hs2 (C ),s>0 у термінах аналітичного продовження;

IV) теорему про залежність повноти системи експонент з вагою в Hs2 (C ) та існування розвязків відповідного рівняння типу згортки від сингулярного множника;

V) опис функцій в Hs2(C ), для яких система експонент з вагою повна в Hs2(C ) і відповідне рівняння типу згортки має лиш тривіальний розвязок.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях умов повноти систем аналітичних функцій, а також при розвязуванні рівнянь типу згортки, в теорії інтерполяції.

Більшість результатів мають форму критеріїв, для інших вказано можливі шляхи їх уточнення. При їх отриманні використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в наступних статтях і наукових повідомленнях

1. Винницький Б.В., Дільний В.М. Про один аналог теореми Пелі-Вінера для вагових просторів Гарді // Матем. студії - 2000. - 14. - №1. - C.35-40.

2. Дільний В. М. Про один варіант теореми Пелі-Вінера //

Вісник Харківського національного університету. Серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2000. - №475. -

C.45 - 48.

3. Дільний В.М. Про розвязки однорідного рівняння згортки в одному класі функцій Гарді-Смірнова // Матем. студії - 2000. - 14. - №2. - C.171-174.

4. Дільний В.М. Про повноту однієї системи функцій у кутовій області // Укр. мат. журн. - 2001. - 53, №2. - C.255-257.

5. Дільний В.М. Про граничні значення функцій, аналітичних у півплощині // Матеріали VII міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука - К. - 2000. -С.271.

6. Дільний В.М. Повнота систем експонент у кутовій області

// Міжн. наук. конф. "Нові підходи до розвязування диференціальних рівнянь". Тези доповідей. - К. - 2001. -С.53.