Пуасонівські міри на просторі конфігурацій над областю. Формули Гауса—Остроградськьго та Гріна. Необхідні та достатні умови симетричності диференціальних операторів другого порядку. Нерівність Пуанкаре для диференціальних операторів другого порядку.
Аннотация к работе
Простори конфігурацій як окремий математичний обєкт стали предметом досліджень починаючи з 60-х років минулого століття у різних областях математики: функціональному аналізі, математичній фізиці, теорії ймовірностей, топології. Іто великого значення набула побудова пуасонівського аналізу на просторах конфігурацій, з використанням хаотичного розкладу для пуасонівської міри й ізоморфізму простору квадратично інтегрованих відносно цієї міри функцій із простором Фока. Рьокнера були побудовані диференціальні структури на просторах конфігурацій й розпочато дослідження операторів типу Лапласа-Бельтрамі для пуасонівської та гібсівської мір. Мекке та його школи визначилася важливість задання мір на просторах конфігурацій за допомогою мір Кемпбела. Також у дисертаційній роботі вивчаються оператори на просторах конфігурацій із пуасонівськими та більш загальними мірами.Нехай - це простір всіх локально скінченних підмножин (конфігурацій) в : (1) де означає кількість точок множини . Нехай - це топологія, індукована слабкою топологією простору мір Радона, а - відповідна борелівська-алгебра. Дивергенція визначається як оператор, дуальний градієнту відносно міри . Нехай і припустимо, що Існує канонічний ізоморфізм Вінера-Іто-Сігала між просторами і . Розглядається також образ вторинного квантування оператора, породжений диференціальним виразом на у просторі .У дисертаційній роботі досліджуються міри та повязані з ними оператори на просторах конфігурацій. Отримано такі результати: Для пуасонівської міри на просторах конфігурацій над областями доведено формули Гауса-Остроградського та Гріна та досліджено наявність спектральної щілини для деяких диференціальних операторів другого порядку. Вивчено характеризаційні властивості класу мір на просторах конфігурацій, заданих за допомогою відносних енергій, та знайдено достатні умови існування та єдинності таких мір в термінах відносних енергій. Побудовано та досліджено клас операторів на просторах конфігурацій, що відповідають формам Дірихле мір Кемпбела, та описано інваріантні міри для одного типу таких операторів. Gauss formula and symmetric extensions of the Laplacian on configuration spaces // Infinite dimensional analysis, quantum probability and related topics.
План
Основний зміст
Вывод
У дисертаційній роботі досліджуються міри та повязані з ними оператори на просторах конфігурацій. Отримано такі результати: Для пуасонівської міри на просторах конфігурацій над областями доведено формули Гауса-Остроградського та Гріна та досліджено наявність спектральної щілини для деяких диференціальних операторів другого порядку.
Вивчено характеризаційні властивості класу мір на просторах конфігурацій, заданих за допомогою відносних енергій, та знайдено достатні умови існування та єдинності таких мір в термінах відносних енергій.
Побудовано та досліджено клас операторів на просторах конфігурацій, що відповідають формам Дірихле мір Кемпбела, та описано інваріантні міри для одного типу таких операторів.
Список опублікованих робіт здобувача за темою дисертації
Finkelshtein D. L., Us G. F. On exponential model of Poisson spaces // Methods of functional analysis and topology. - 1998. 4, ? 4. - P. 5-21.
Finkelshtein D. L., Kondratiev Yu. G., Konstantinov A. Yu., Rockner M. Symmetric differential operators of the second order in Poisson spaces spaces // Methods of functional analysis and topology. - 2000. 6, ? 4. - P. 14-25.
Finkelshtein D. L., Kondratiev Yu. G., Konstantinov A. Yu., Rockner M. Gauss formula and symmetric extensions of the Laplacian on configuration spaces // Infinite dimensional analysis, quantum probability and related topics. - 2001. 4, ? 4. - P. 489-509.
Finkelshtein D. L. Spectral gap inequalities on configuration spaces // Methods of functional analysis and topology. - 2003. 9, ? 1. - P. 1-8.
Препринти: Finkelshtein D. L., Kondratiev Yu. G. Measures on configuration spaces defined by relative energies and some their applications // Kyiv, 2003. - 68 p. (Preprint / National Acad. Sci. of Ukraine, Inst. of Math.; 2003.5).
Тези міжнародних конференцій: Finkelshtein D. L. Spectral gap inequalities on configuration spaces // International Genedenko conference (90 anniversary). Abstracts. - Kyiv, 2002. - P. 157.
Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук професору Кондратьєву Юрію Григоровичу за постановку задач, постійну увагу та допомогу в роботі.