Діагональна редукція матриць над кільцями - Автореферат

У випадку комутативних кілець доведено і зворотнє твердження: якщо скінченно зображуваний модуль над кільцем розкладається в пряму суму циклічних модулів, то це кільце є кільцем елементарних дільників (Larsen M., Lewis W., Shores T. Цей результат є частковим розвязком загальної проблеми Уорфілда: над якими кільцями кожний скінченно зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних підмодулів (Warfield R.B. Важливу роль у вивчені кілець елементарних дільників відіграють кільця Ерміта (зокрема при розвязанні питання про можливість діагональної редукції матриць), оскільки умова Ермітовості присутня в усіх теоремах про кільця елементарних дільників. Зауважимо, що кільце Ерміта є кільцем скінченно породжених головних ідеалів, тобто кільцем, в якому довільний скінченно породжений правий або лівий ідеал є головним (такі кільця узагальнюють кільця головних ідеалів). The prime spectrum of a Bezout ring // Commen. Alg.

Основні результати дисертації опубліковано в 31 науковій роботі - [1]-[31]. З них 22 наукові роботи надруковані у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, у тому числі 7 статей у співавторстві.

Особистий внесок здобувача.

Усі результати, які виносяться на захист, отримані автором самостійно. В тих роботах, які написані у співавторстві, на захист виносяться лише результати, отримані автором самостійно. У роботі [1] автору належать доведення всіх тверджень і теорем. Співавтор ввів у цій роботі поняття адекватного елемента, а також побудував приклад кільця, яке задовольняє умови твердження 7. У роботі [4] автору належать усі доведення результатів, а співатору належать приклади, які ілюструють ці твердження. У роботі [12] автору належать теореми 6, 8 (інші твердження, які належать співавтору, у дисертаційну роботу не включені). У праці [13] автору належать доведення теорем 4, 7, твердження 6 (всі інші твердження цієї роботи не включені в текст дисертації). У роботі [14}] автору належить доведення твердження 1. У праці [15] автору належать твердження 4, 5. У статті [23] автору належить зауваження 1, яке й включене в дисертацію.

Структура і обєм роботи.

Робота розпочинається зі вступу, в якому викладено історичні зауваження до досліджень та наводяться пояснення взаємозвязків результатів дисертації з дослідженнями інших математиків. Тут також включено інформацію про публікації, особистий внесок здобувача та апробацію результатів дисертаційної роботи.

Змістовна частина дисертації складається з трьох розділів: кільця скінченного стабільного рангу; кільця Безу; кільця елементарних дільників. Розділ "Кільця скінченного стабільного рангу" складається з 6 підрозділів, розділ "Кільця Безу" - з 3 підрозділів, розділ "Кільця елементарних дільників" - з 9 підрозділів.

Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 282 сторінки. Обсяг роботи без висновків та списку літератури 253 сторінки. Список літератури складається з 253 найменувань.

Основний зміст дисертації

В даній дисертації досліджуються проблеми діагональної редукції матриць над різними класами кілець скінченного стабільного рангу. В розділі 3 вводиться нове поняття правого (лівого) n-Ермітового кільця. Такі кільця є правими (лівими) кільцями Безу. У випадку кільця Безу поняття n-Ермітового кільця є ліво-право симетричним. Одним з основних результатів першого підрозділу розділу 3 є така теорема.

Теорема 3.1.7. Кожне праве (ліве) кільце Безу стабільного рангу n є правим (лівим) (n 1)-Ермітовим кільцем.

Звідси випливають такі результати: Наслідок 3.1.12. Праве (ліве) кільце Безу стабільного рангу 1 є правим (лівим) Ермітовим кільцем.

Наслідок 3.1.13. Напівлокальне праве (ліве) кільце Безу є правим (лівим) Ермітовим.

Наслідок 3.1.13 дає відповідь на питання 2, поставлене Хенріксеном (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163) для некомутативних кілець. Зауважимо, що це питання поставлене Хенріксеном лише для комутативних кілець і розвязане в 1974 році (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. - 187. -P.231-248), хоча воно є актуальним і в загальному. У класі комутативних кілець відповіддю на відкрите питання, коли комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта, є такий результат.

Теорема 3.1.16. Комутативне кільце Безу є Ермітовим кільцем тоді і тільки тоді, коли його стабільний ранг не перевищує 2.

В якості безпосереднього наслідку звідси можна одержати важливий результат другого підрозділу розділу 3, а саме: Теорема 3.2.2. Нехай R - комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів, тоді R є Ермітовим кільцем.

Цей результат дає відповідь на питання Хенріксена, відмічене в роботі Shores T. Wiegand R. Decomposition of modules and matrices // Bull. Amer. Math. Soc. -1973. - 79, № 6. -P.1277-1280. Зауважимо, що його незалежно анонсував також Кошу (Couchom F. The l-dimension of commutative arithmetic ring // Commun. in Algebra. -2004. -v.31. -7. -1-14).

Основним результатом третього підрозділу розділу 3 є така теорема.

Теорема 3.3.1. Нехай R - регулярне кільце стабільного рангу n. Тоді для довільної k?m матриці A над кільцем R, де |k-m|=n, існують такі унімодулярні матриці PIGEK(R) та QIGEM(R), що матриця PAQ є діагональною.

Щойно сформульовані теореми можна розглядати як часткову відповідь на відому відкриту задачу, поставлену Хенріксеном (Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisor rings // Arch. Math.,-1973,-24, №2, 133-141) : описати регулярні кільця, над якими довільна матриця еквівалентна діагональній. Зауважимо, що існують сепаративні регулярні кільця, над якими лише квадратні матриці діагоналізуються (Ara P., Goodearl K., OMEARA K.C., Pardo E. Diagonalization of matrices over regular rings // Linear Algebra and Appl., -1987, -265, -147-163), тому актуальність теореми 3.3.1 не викликає сумнівів.

Капланський довів, що над прямо скінченним Ермітовим кільцем кільце матриць довільного порядку є прямо скінченним (Kaplansky I. Elementary divisors and modules // Trans. Amer. Maht. Soc. -1949. - 66. -P.464-491). Цей факт відіграє основну роль при розвязанні задачі 1 монографії Гудьорла (Goodearl K.R. Von Neumann regular rings // Pitman, London-San Francisco-Melbourne, 1979), а саме: якщо R - прямо скінченне регулярне кільце, то чи буде кільце матриць Rn прямо скінченним при всіх n. З іншого боку, в сучасних алгебраїчних дослідженнях виявилося, що існують кільця, над якими діагональною редукцією володіють лише квадратні матриці (Levy L.S. Sometimes only square matrices can be diagonalized // Proc. Amer. Math. Soc.,-1975,-52, 18-22), тобто такі кільця не є Ермітовими. Більше того, вони можуть бути навіть не кільцями Безу. Але, як зауважив Капланський, у випадку кілець без дільників нуля і, як довели Шорес, Левіс, Ларсен (Larsen M., Lewis W., Shores T. Elementary divisor rings and finitely presented modules // Trans. Amer. Math. Soc. -1974. - 187. -P.231-248), у випадку комутативних кілець діагональна редукція квадратних матриць забезпечує діагональну редукцію всіх матриць. Враховуючи це, в четвертому підрозділі розділу 3 доведено такі основні результати.

Теорема 3.4.1. Нехай R квазі-дуо-кільце, над яким довільна квадратна матриця володіє канонічною діагональною редукцією. Тоді R є Ермітовим кільцем.

Теорема 3.4.5. Нехай R прямо скінченне кільце, над яким довільна квадратна матриця володіє діагональною редукцією. Тоді кільце матриць Rn є прямо скінченним.

Основним результатом пятого підрозділу розділу 3 є відповідь на питання 3, поставлене Хенріксеним (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. -3. -P.159-163): якщо R - комутативне кільце Безу, факторкільце R/J(R) якого є Ермітовим, то чи буде кільце R Ермітовим? В цьому підрозділі дається позитивна відповідь на сформульоване питання, причому результат наводиться як наслідок більш загального твердження, що стосується некомутативних кілець.

Теорема 3.5.1. Нехай R - праве (ліве) кільце Безу і R/J(R) - праве (ліве) Ермітове кільце. Тоді R є правим (лівим) Ермітовим кільцем.

Як наслідок отримується результат (для комутативних кілець), якого й очікував сам Хенріксен (Henriksen M. Some remarks about elementary divisor rings // Michigan Math. J. -1955/56. - 3. -P.159-163).

Теорема 3.5.2. Комутативне кільце Безу R є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли R/J(R) кільце елементарних дільників.

У шостому підрозділі розділу 3 вивчаються численні властивості кілець стабільного рангу 1.

Основними результатами даного підрозділу слід вважати такі: Теорема 3.6.4. Кожне праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим кільцем.

Теорема 3.6.6. Кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

Сформульовані результати узагальнюють відомі результати Брунгса (Brungs H.H. Left Euclidean rings // Pacific. J. Math.,-1973,-45, N1, 27-33) для квазікомутативних кілець та результати Естеса і Ома (Estes D., Ohm J. Stable range in commutative rings // J. Algebra, -1967, -7, -343-362) для комутативних кілець стабільного рангу 1.

Важливу роль в сучасній теорії кілець відіграють дистрибутивні кільця (Tuganbaev A.A. Semidistributive Modules and Rings // Kluwer Academic Publ. Netherland, 1998). На даний час роль "елементарних" обєктів, до яких у багатьох випадках в теорії кілець зводиться вивчення більш складних обєктів, відіграють дистрибутивні кільця. Проте слід зауважити, що у випадку некомутативних кілець клас дистрибутивних кілець є досить вузьким і специфічним. Так, наприклад, праві дистрибутивні кільця Безу без дільників нуля можна вивчати як квазідуо-кільця Безу. Звідси бачимо, що кільця головних ідеалів без дільників нуля, взагалі кажучи, не є дистрибутивними.

Перший підрозділ розділу 4 присвячений побудові нового класу кілець, який узагальнює дистрибутивні кільця Безу без дільників нуля, на основі вивчення структури максимально неголовних правих ідеалів майже атомного кільця Безу без дільників нуля.

Праві кільця Безу відрізняються від кілець головних ідеалів наявністю неголовних правих ідеалів. Враховуючи індуктивність множини неголовних правих ідеалів кільця стосовно теоретико множинного включення, можна стверджувати існування максимально неголовних правих ідеалів. В першому підрозділі вивчаються численні властивості максимально неголовних ідеалів.

Основним результатом даного підрозділу є така теорема.

Теорема 4.1.9. Нехай R - майже атомне кільце Безу без дільників нуля, в якому довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним. Тоді в R довільний максимально неголовний правий ідеал є максимально неголовним лівим ідеалом.

Адекватні кільця історично складають перший клас кілець елементарних дільників, ширший за клас кілець головних ідеалів. Але, як вже відзначалося, структурна будова таких кілець є мало відомою. В даному підрозділі вивчаються адекватні кільця з дільниками нуля через введення поняття всюди адекватного кільця. Такими є кільця, в яких довільний елемент (зокрема і нуль) є адекватним. Відзначимо ще такий результат.

Теорема 4.2.13. Комутативне кільце Безу зі скінченним числом мінімальних простих ідеалів є всюди адекватним тоді і тільки тоді, коли воно є скінченною прямою сумою кілець нормування.

В третьому підрозділі розділу 4 вивчаються властивості максимальних і простих ідеалів комутативного кільця Безу без дільників нуля, а також наведені приклади кілець Безу, які ілюструють ці результати.

Розділ 5 присвячений кільцям елементарних дільників. Тут описані прості кільця елементарних дільників без дільників нуля, кільця, над якими довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Також наведені нові класи кілець елементарних дільників.

Основним результатом першого підрозділу розділу 5 є теорема, яка описує прості кільця елементарних дільників без дільників нуля.

Теорема 5.1.2. Просте кільце Безу без дільників нуля є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли воно є 2-простим.

Хенріксен довів, що над одинично регулярним кільцем довільна матриця еквівалентна діагональній матриці (тобто може бути діагоналізованою) без умов повної подільності діагональних елементів в діагональній формі цієї матриці. Разом з тим актуально, коли таке кільце є кільцем елементарних дільників в класичному сенсі. Відповіддю на сформульоване питання у випадку простого одинично регулярного кільця служить така теорема.

Теорема 5.1.8. 2-просте одинично регулярне кільце є кільцем елементарних дільників.

Важливий і популярний клас кілець складають Евклідові кільця. Наявність алгоритму Евкліда робить їх зручними в задачах, повязаних з матричними обчисленнями. Відомо, що над Евклідовим кільцем довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Тому природньою і важливою є задача вивчення кілець, над якими довільна матриця зводиться до канонічного діагонального вигляду лише елементарними перетвореннями. Ці кільця вперше введені автором і отримали назву кілець з елементарною редукцією матриць (Zabavsky B.V. Rings with elementary reduction matrix // Ring Theory Conf., 1996, Miskolc, July 15-20.-1996.-II.-14).

Основним результатом другого підрозділу розділу 5 є такий результат.

Теорема 5.2.1. 2-Евклідове комутативне кільце є кільцем з елементарною редукцією матриць.

Теорема 5.2.3. Якщо R - праве w-Евклідове кільце Безу, то R - ліве w-Евклідове кільце.

Зауважимо, що умова w-евклідовості кільця є необхідною умовою того, щоб кільце R було кільцем з елементарною редукцією матриць. Більше того, всі відомі приклади комутативних w-Евклідових кілець є 2-Евклідовими і побудова w-Евклідового кільця, яке не є 2-Евклідовим кільцем, є складною відкритою задачею (Cooke G.A. A weakening of the euclidean property for integral domains and applications to algebraic number theory. I) // J. fur die Reine and Angw. Math., -1976, -282, -133-156). Прикладом кільця елементарних дільників, над яким матриці, взагалі кажучи, не зводяться до канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями відомі (Bougaut B. Anneaux Quasi-Euclidiens // These de docteur troisieme cycle,-1976, 67). В той же час виявляється, що елементарні перетворення відіграють все-таки велику роль в процесі зведення матриць до канонічного діагонального вигляду. Це підтверджують такі основні результати.

Теорема 5.2.4. Нехай R - кільце елементарних дільників, тоді для довільної n? m матриці A (n>2,m>2) можна знайти такі унімодулярні матриці PIGEN(R) та QIGEM(R), що де ei - повний дільник ei 1, 1? i?s-1 і A0 є 2?k або k?2 матрицею при деякому KIN.

Тобто над кільцем елементарних дільників довільна матриця порядку n?m, де (n>2, m>2) шляхом елементарних перетворень рядків і стовпчиків зводиться до канонічного діагонального вигляду. Для матриць певного конкретного вигляду не можна обійтись без елементарних перетворень, зокрема має місце така теорема.

Теорема 5.2.5. Нехай R - кільце елементарних дільників. Тоді для довільної n?m матриці A, де m-n=2 можна знайти такі унімодулярні матриці PIGLN(R) та QIGEM(R), що де ei - повний дільник ei 1, 1? i?r-1.

У випадку комутативних адекватних кілець для неособливих матриць маємо таке твердження.

Теорема 5.2.6. Нехай R комутативне адекватне кільце, тоді для довільної неособливої матриці порядку n можна знайти такі унімодулярні матриці PIGEN(R) та QIGLN(R), що де ei - повний дільник ei 1, 1? i?n-1.

Основним результатом третього підрозділу розділу 5 є така теорема.

Теорема 5.3.1. Локально зліченне кільце Безу є кільцем елементарних дільників.

Ця теорема є узагальненням відомого результату Капланського (Kaplansky I. Infinite Abelian Groups // Michigan Univer. of Michigan Press, 1969) і Казімірського (Казимирский П.С. Теорема об элементарных делителях в коммутативной области Безу // XVII Весоюзная алгебраическая конференция, Тезисы сообщений, ч.2.-Минск.-1983, -81) про те, що комутативне кільце Безу без дільників нуля, множина максимальних ідеалів якого є не більш ніж зліченна, є кільцем елементарних дільників.

Некомутативні кільця елементарних дільників ще мало вивчені. Відомі класи таких кілець доволі вузькі і специфічні. В четвертому підрозділі розділу 5 описані нові класи некомутативних кілець елементарних дільників. В цьому підрозділі доведено, що кільце Безу з єдиним максимально неголовним ідеалом, в якому виконується умова Дубровіна, є кільцем елементарних дільників.

Як уже відзначалось, існують регулярні кільця, над якими лише матриці певного вигляду і розміру еквівалентні діагональним. Тому актуальною є задача про еквівалентність за Крулем матриць над регулярним кільцем до діагональних матриць. Відповідь на це питання дає такий основний результат пятого підрозділу розділу 5.

Теорема 5.5.1. Нехай R - регулярне кільце, A - матриця порядку m?n над R і A1 - матриця, отримана приєднанням до матриці A m нульових стовпчиків. Тоді існують такі унімодулярні матриці P та Q відповідних розмірів, що матриця PA1Q є діагональною.

Як відомо, дистрибутивне кільце елементарних дільників є дуо кільцем (Tuganbaev A.A. Semidistributive Modules and Rings // Kluwer Academic Publ. Netherland, 1998). Крім того, відомо, що в дистрибутивних кільцях виконується умова L (Lam. T., Dugas A. Quasi-Duo Rings and Stable Range Descent // J. Pure Appl. Alg. -2005. -195. -243-259). В шостому підрозділі 5 розділу показано, що у кільцях елементарних дільників з умовою L виконується умова Дубровіна. Основним результатом даного підрозділу є така теорема.

Теорема 5.6.1. Нехай R - кільце елементарних дільників, в якому виконується умова L. Тоді в R виконується умова Дубровіна.

Сьомий підрозділ можна розглядати як застосування результатів розділу 4 (а саме, його першого підрозділу) до питання діагональної редукції матриць над майже атомними кільцями Безу без дільників нуля з умовою Дубровіна стабільного рангу1.

У восьмому підрозділі розділу 5 показано, що кільця, які розглядаються в роботі (Czucs J. Diagonalization theorem for matrices over certain domains // Acta. sci. math., -1974, -36, №12, -193-201), є кільцями стабільного рангу 1 в локалізації по скрутах в сенсі Комарницького. Звідси, у випадку таких напівпростих кілець Безу без дільників нуля, отримано, що діагональна редукція в локалізації піднімається до діагональної редукції матриць над основним кільцем.

Девятий підрозділ розділу 5 присвячений питанню одночасного приведення пари матриць до спеціального трикутного вигляду над всюди адекватним кільцем. Це дозволило перенести відомі результати Ньюмена про дільники матриці над кільцями головних ідеалів на всюди адекватні кільця і, зокрема, на комутативні регулярні кільця.

Висновки

Питання редукції матриць безумовно заслуговують уваги спеціалістів. Можливості їх застосувань в різних галузях математики сьогодні не потребують додаткової аргументації.

В дисертації отримано ряд результатів про будову кілець Безу скінченного стабільного рангу, багато з яких є розвязками відомих проблем теорії кілець. Зокрема: Доведено, що праве кільце Безу стабільного рангу 1 є правим кільцем Ерміта.

Доведено, що напівлокальне праве кільце Безу є правим кільцем Ерміта.

Встановлено, що комутативне кільце Безу є кільцем Ерміта тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем стабільного рангу 2.

Доведено, що комутативне кільце Безу з компактним простором мінімальних простих ідеалів є кільцем Ерміта.

Показано, що праве кільце Безу таке, що факторкільце по радикалу Джекобсона є правим кільцем Ерміта, є також правим кільцем Ерміта.

Описано матриці певного вигляду, які діагоналізуються над довільним регулярним кільцем скінченного стабільного рангу.

Показана пряма скінченність кілець матриць над прямо скінченними кільцями, які можуть бути діагоналізовані.

Доведено, що праве кільце Безу без дільників нуля стабільного рангу 1 є правим 2-Евклідовим кільцем.

Показано, що кільце головних ідеалів без дільників нуля стабільного рангу 1 є Евклідовим кільцем.

Побудовано факторіальний аналог дистрибутивних кілець.

Описано прості кільця елементарних дільників без дільників нуля, як 2-прості кільця.

Показано, що 2-просте одинично регулярне кільце є кільцем елементарних дільників.

Розвинута теорія адекватних кілець і побудована теорія узагальнено адекватних і всюди адекватних кілець, як комутативних кілець елементарних дільників.

Побудована теорія кілець, над якими довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями.

Доведено, що комутативне 2-Евклідове кільце є кільцем, над яким довільна матриця діагоналізується лише елементарними перетвореннями.

Показано, що праве w-Евклідове кільце Безу є лівим w-Евклідовим, що уточнює структурну будову правих головних кілець Безу без дільників нуля.

Доведено, що над кільцем елементарних дільників редукція матриць не елементарними перетвореннями має місце лише для матриць порядку 1?2, 2?1 і 2?2.

Показано, що локальне злічене кільце Безу є кільцем елементарних дільників.

Описано нові класи некомутативних кілець елементарних дільників.

Доведена "слабка" діагональна редукція матриць над регулярним кільцем.

Роботи автора за темою дисертації

1. Комарницький М.Я., Забавський Б.В. Про адекватні кільця // Вісник Львівського університету. 1988. 39-43.

2. Забавский Б.В. О некоммутативных кольцах с элементарными делителеми // Укр. мат. журн. 1990. 42, №6. 847-850.

3. Забавский Б.В. Строгая факториальность и факториальный радикал Джекобсона // Мат. исслед. 1990. 118. 36-41.

4. Забавський Б.В., Комарницький М.Я. Деякі властивості максимальних і простих ідеалів комутативної області Безу // Вісник Львівського університету, 1990. 34. 53-56.

5. Забавський Б.В. Про комутативні кільця елементарних дільників // Вісник Львівського університету. 1990. 34. 51-52.

6. Забавський Б.В. Про PP-квазідуо кільце

7. елементарних дільників // В збірнику: Алгебра і топологія, Київ, ІСДО, 1993, 40-49.

8. Забавський Б.В. Про прості одинично регулярні кільця елементарних дільників // Математичні студії, 1993. №2. 21-22.

9. Забавський Б.В. Адекватні кільця елементарних дільників зі скінченним числом мінімальних простих ілеалів // В збірнику: Алгебра і топологія, Львів, ЛДУ, 1996. 74-79.

10. Забавський Б.В. Некоммутативный аналог теорем Коена // Укр. мат. журн., 1996. 48, №5. 707-710.

11. Забавський Б.В. Узагальнені адекватні кільця // Укр. мат. журн., 1996. 48, №4. 554-557.

12. Забавський Б.В. Кільця, над якими довільна матриця допускає діагональну редукцію елементарними перетвореннями // Математичні студії, 1997. 8, №2. 136-139.

13. Забавський Б.В., Гаталевич А.І. Про мінімальні прості ідеали комутативних кілець Безу // Укр. мат. журн., 1999, 51, №7. 1001-1005.

14. Забавський Б.В., Романів О.М. Кільця з елементарною редукцією матриць // Укр. мат. журн., 2000. 52, № 12. 1641-1649.

15. Забавський Б.В., Гаталевич А.І. Максимально неголовні праві ідеали кілець Безу // Математичні методи та фізико-механічні поля, 2000. 43, №2. 40-44.

16. Забавський Б.В., Романів О.М. Комутативні 2-Евклідові кільця // Математичні студії, 2001. Т.15, №2. 140-144.

17. Забавський Б.В. Редукція матриць над правими кільцями Безу скінченного стабільного рангу // Математичні студії. 2001. 16, №2. 115-116.

18. Забавський Б.В. Факторіальний аналог дистрибутивних областей Безу // Укр. мат. журн. 2001. 53, №11, 1564-1567.

19. Забавський Б.В. Редукція матриць над кільцями Безу стабільного рангу не більше 2 // Укр. мат. журн. 2003. 55, №4. 550-554.

20. Забавский Б.В. Простые кольца элементарных делителей // Математичні студії, 2004. Т.22, №2. 129-133.

21. Забавський Б.В. Редукція матриць і одночасна редукція пари матриць над кільцями // Математичні студії, 2005. Т.24, №1. 3-11.

22. Zabavsky B.V. Rings with elementary reduction matrix // Ring Theory Conf., 1996, Miskolc, July 15-20. 1996. II. 14.

23. Zabavsky B.V. Rings with elementary reduction matrix // Міжнародна алгебраїчна конференція, Санкт-Петербург. -1997. -143.

24. Zabavsky B., Romaniv O. Noncommutative rings with elementary reduction of matrices // Вопросы алгебры, Гомель, 1999. 14. 79-85.

25. Zabavsky B.V. Elementary reduction of matrices over adequate domain} // Математичні студії. 2002. 17. №2 115-116.

26. Zabavsky B.V. Diagonalization of matrices over ring with finite stable rank // Вісник Львівського університету. 2003. 61. 206-210.

27. Zabavsky B. About a commutative Bezout ring with compact minimal spectrum // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova, Chisinau. 2004. 326.

28. Zabavsky B. A simple elementary divisor domain // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova, Chisinau. 2004. 327.

29. Zabavsky B.V. Diagonalization of matrices // Математичні студії. 2005. Т.23, №1. 3-10.

30. Zabavsky B.V. Diagonalizability theorem for matrices over rings with finite stable range // Alg. and Discr. Math. 2005. №1. 151-165.

31. Zabavsky B.V. Almost diagonal matrices over n-simple Bezout domains // Groups and group rings XI, Bedlewo, Poland, June 4-11, 2005. 22.

32. Zabavsky B.V. A commutative elementary divisor domain of stable range 1 in localization // 5 Міжнародна алгебраїчна конференція, Одеса. 2005. 237-238.