Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Аннотация к работе
Рассмотрим задачу нахождения нулей функции f (x), т.е. корней уравнения f (x) =0. предположим, что интересующий нас корень x изолирован, т.е., что найден содержащий его промежуток [a, b], в котором других корней нет. Если на концах отрезка [a, b] функция f (x) имеет значения f (а) и f (b) разных знаков, то по 1 теореме Больцано - Коши, деля на части [ак, bk], содержащее корень, и определяя знак функции f в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и таким образом осуществлять приближенное вычисление корня. Рассмотрим основные приемы приближенного вычисления изолированного корня уравнения f (x) =0. Пусть выполнены следующие условия: (1) функция f в промежутке [a, b] непрерывна вместе со своими производными f ? (x) и f ?? (х); (2) значения f (а) и f (b) функции на концах промежутка имеют разные знаки f (а) f (b) <0;Если промежуток [a, b] достаточно мал, то с приближением можно считать, что при изменении х в его пределах - приращение функции f (x) пропорционально приращению аргумента. Таким образом, за приближенное значение корня принимается число Изложенное правило получения приближенного значения корня называется правилом пропорциональных частей. Правило по существу сводится к тому, что вместо точки пересечения с осью Ox дуги М1М2 мы находим точку пересечения с осью Ох ее хорды. Ограничимся случаями I и IV, применим снова выведенное правило, на этот раз к промежутку [x1, b], заменяя в (1) а на х1, получим новое приближенное значение корня x: , содержащееся, по доказанному между х1 и x.Получение этого значения можно наглядно использовать геометрически. Полагая здесь у=0, найдем абсциссу точки Т1 пересечения касательной с осью Ох, она в точности совпадает с точкой х1, найденной выше. Покажем, что если значение f (b) одного знака с f" (x), то х1 лежит между x и b. Аналогично, если исходить из точки а, и касательную к кривой провести в точку М1 (с абсциссой а), то взамен (2), получим приближенное значение . Относительно вычисленного по этой формуле значения можно установить, как и выше: если значение f" (x) имеет одинаковый знак с f "(x), то x1 лежит между а и x.Этот метод состоит в одновременном использовании как метода касательных, так и метода хорд. Приближенные значения x1 и x1" вычислим по формулам: тогда по доказанному: . Этот процесс можно продолжать; имея два приближенных значения xn и xn", между которыми содержится корень , мы переходим к следующей паре приближенных значений по формулам: . Таким образом, при комбинированном методе мы получаем одновременно с недостатком и с избытком приближенные значения корня, которые стремятся к точному с разных сторон. Решение: Подставляя целочисленные значения в выражение функции f (x) =2x3-x2-7x 5, находим, что искомые корни содержатся в промежутках: .В отличие от прямых или точных методов, итерационные дают возможность получить решение лишь приближенно, путем повторения некоторой совокупности операций, позволяющей по исходному приближенному значению решения определить его уточненное значение. Многократное повторение итераций позволяет получать все более точное решение при условии, что итерационный процесс сходится к искомому решению. Если данное уравнение f (x) =0 приведено к виду x=j (x), где |j" (х) |?r<1 всюду на отрезке [a, b], на котором оно имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения х0, принадлежащего отрезку [a, b], можно построить такую последовательность: х1=j (х0), х2=j (х1),…, xn=j (xn-1),…. Пример: Методом итераций решить с точностью до 0,01 уравнение x3-12x-5=0. Решение: Найдем интервал изоляции действительного корня уравнения. представим данное уравнение в виде x3=12x 5 и построим графики двух функций y = x3 (1) и y=12x 5 (2).Пусть для некоторой функции f (x), определенной на [a, b] вычислены (m 1) ее значений в точках x0, x1, …, xm: f (x0), f (x1), f (xm) и требуется по этим значениям вычислить значение f (x) при некотором новом значении x. Обычно задачу понимают так: ищется многочлен L (x) наинизшей степени, который в заданных точках xi (k=0,1,…, m), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f (xi), что и функция f (x), и приближенно полагают для любого x из [a, b] f (x) @L (x). Для отыскания многочлена L (x), удовлетворяющего условиям L (xi) = f (xi) (i=0,1,…,m), удобно ввести базисный многочлен m-й степени lk (x), k=0,1,…,m, который, соответственно индексу, принимает значение 1 при x = xk и обращается в 0 при x=xi, если i ? k. Так как при при x=xi, если i ? k имеет место lk (x) =0, то его можно записать в виде: так как при x = xk имеет место lk (x) =1, то подставляя в выражение lk (x) значения x = xk и приравнивая результат единице, получим: В результате получим: , (1) а многочлен L (x) = вычисляется по формуле: (2)Предположим, что функция f (z) на этом отрезке имеет производные всех порядков до (m 1) - го включительно. По теореме Ролля в (m 1) промежутках между m 2 корнями x, x0, x1, …, xm функции j (z) найдется m 1 различных корней ее производной j&
План
Содержание
Численные методы
§1. Приближенное решение уравнений
§2. Метод хорд
§3. Правило Ньютона (метод касательных)
§4. Комбинированный метод
§5. Метод итераций
§6. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
§7. Дополнительный член формулы Лагранжа
§8. Интерполяционная формула Ньютона
§9. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита
§10. Эмпирические формулы
§11. Точечное квадратичное аппроксимирование функций
§12. Нормальная система определения коэффициентов для метода наименьших квадратов
§13. Численное дифференцирование. Вычисление производной по ее определению
§14. Конечно-разностные аппроксимации производных
§15. Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования