Решение эллиптических и параболических дифференциальных уравнений в частных производных. Суть метода Кранка-Николсона и теории разностных схем для теплопроводности. Построение численных методов с помощью вариационных принципов, описание Matlab и Mathcad.
Аннотация к работе
Важнейшая роль в развитии современного общества принадлежит информатизации, особенность которой состоит в том, что одним из основных видов деятельности членов общества, являются процессы, связанные с информацией (сбором, хранением, обработкой, представлением и т.д.). Происходящие в настоящее время изменения в области образования, направленные на обеспечение развития и саморазвития личности обучаемого, влекут не только появление новых предметов изучения, но и изменение подходов к изучению традиционных дисциплин. Овладение компьютерными навыками, умение использовать средства Интернет позволяет студенту расширять свое информационно-образовательное пространство, создает условия для самообразования. Прошло то время, когда желающие получить знания в той или иной области должны были упорно штудировать книги и учебники, напечатанные на бумаге. Цель курсовой работы заключается в повышении эффективности изучения элективного курса «Численные методы», позволяющего облегчить понимание материала.Существует три типа квазилинейных уравнений: если , уравнение называется эллиптическим, (2) если , уравнение называется параболическим, (3) если , уравнение называется гиперболическим. В качестве примера гиперболического уравнения рассмотрим одномерную модель колебания струны [1]. Перемещение u(х, t) описывается волновым уравнением для 0<x<L и 0<t<?, (5) с функциями, которые задают начальное положение и скорость уравнение дифференциальный теплопроводность matlab u(х,0) = f(x) для t = 0 и 0<x<L, (6) ut(х, 0) = g(х) для t = 0 и 0 <х <L, и граничными значениями u{0,t)=0 для х = 0 и 0?t<?, (7) u(L,t) = 0 для х = L и 0?t<?. В качестве примера параболического уравнения рассмотрим одномерную модель распространения тепла в изолированном брусе длины L (рисунок 2). В качестве примера эллиптического уравнения рассмотрим потенциал u(х,у), который можно рассматривать, как установившийся режим электростатического потенциала или установившийся режим распределения температуры в прямоугольной области на плоскости.Допустим, что рассматривается некоторое тело и изучается его тепловое состояние. Рассмотрим внутри тела некоторый объем V, ограниченный поверхностью S, и подсчитаем двумя способами изменение количества тепла, заключенного в объеме V (рисунок 5)Используем метод правой разности для решения уравнения теплопроводности ut(х, t) = uxx(x, t) для 0 <x <1 и 0 <t< 0.20 (19) с начальным условием u(х, 0) = f(x) = 4x - 4x2 для t = 0 и 0 ? х ? 1, (20) и граничными условиями u(0,t) =g1(t)?0 для x = 0 и 0?t?0,20, u(l,t) =g2(t) ?0 для x = 1 и 0?t?0,20. Решетка состоит из n = 6 столбцов по ширине и m = 11 рядов по высоте.Неявная схема, открытая Джоном Крайком и Филлисом Николсоном, основана на численных приближениях для решений уравнения для (23) в точке (x,t k/2), которая находится между рядами решетки. Более определенно, приближение, используемое для ut(х, t k/2), получено по формуле центрированной разности Используемое для ихх(х, t k/2) приближение является средним значением приближений ихх(х, t) и ихх(х, t k), которое имеет точность порядка 0(h2): (25) Подставим (24) и (25) в уравнение для и пренебрежем остаточными членами 0(h2) и 0(k2). Шесть точек, используемых в формуле Кранка-Николсона (27), вместе с промежуточной точкой решетки, на которой основаны численные приближения, показаны на рисунке 6.В этом случае уравнение и граничные условия аппроксимируются некоторыми разностными соотношениями (схемами), и проблема сводится к решению систем алгебраических уравнений. Прежде всего введем сетку-конечное множество точек из D, плотность распределения которых характеризуется параметром h - шагом сетки. Сетка Dh строится таким образом, что при >0 число точек (узлов) сетки увеличивается (множество Dh «стремится» заполнить всю область D). Функция, определенная в узлах сетки Dh, называется сеточной функцией. Сеточная функция называется погрешностью аппроксимаций разностной схемы (29) на решении u(x,y) задачи (29).Построим разностные схемы для поставленной задачи. Введем сетку в прямоугольнике D как совокупность точек . Узлы назовем граничными узлами сетки. Обозначим: - точное решение в узлах сетки, - приближенное решение, В граничных узлах известно точное решение, поэтому условия (31) аппроксимируются точно: Для аппроксимации уравнения (30) в узлах сетки используем формулы численного дифференцирования: , (33) Совокупность узлов сетки, которые используются для разностной аппроксимации дифференциального уравнения (30) в узле , называется шаблоном.(37) на классе функций , удовлетворяющих условию . Напомним, что - это класс функций с ограниченным интегралом , удовлетворяющих условиям Задаются некоторым N и выбирают совокупность функций с ограниченным интегралом , удовлетворяющих условиям Тогда функционал I(y) ограничен снизу и искомое решение является не просто точкой экстремума, а точкой минимума функционала I(y) . Чтобы приближенные решения YN сходились к точному в норме , т.е.
План
СОДЕРЖАНИЕ
1. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 4
1.1 Элиптические уравнения 6
1.2 Параболические уравнения 9
1.2.1 Уравнение теплопроводности 9
1.2.2 Пример метода правовой разности 10
1.2.3 Метод Кранка-Николсона 11
2. Теория разностных схем 14
2.2 Разностные схемы для уравнения теплопроводности 16
3. Построение численных методов с помощью вариационных принципов 21
3.1 Метод Ритца 21
3.2 Метод Бубнова-Галеркина 24
4. Термодинамическое описание системы 27
5. Модельное уравнение теплопроводности 29
6. Дифференциальное исчисление тензоров 31
6.1 Понятие m-мерной поверхности 31
6.2 Тензорные поля на поверхности 33
7. Практическая часть 35
7.1 Общие сведения пакета Matlab 35
7.2 Общие сведения пакета Mathcad 37
7.3 Элективный курс «Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных» 38