Назначение программного средства и основные требования к нему. Построение математической модели для интегрирования функции с использованием степенных рядов. Разработка модульной структуры программы, описание процедур и функций, формирование алгоритма.
Аннотация к работе
Область, в которой функция представлена в виде суммы степенного ряда, называется областью разложения функции в степенной ряд. Если данная функция разлагается в степенной ряд, то разложение называется ряд Тейлора для функции f(x), а при x0=0 - ряд Маклорена. Одно из основных свойств степенного ряда выглядит так: То есть, разложив функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав каждое слагаемое (пока не будет достигнута требуемая точность), а затем просуммировав их, мы проинтегрируем исходную функцию. Если нам необходимо проинтегрировать не функцию f(x), а, например, функцию f(x2), то в разложении функции f(x) следует заменить x на x2, а затем поступать аналогично. Разложим функцию cosx в степенной ряд: Проинтегрируем получившийся ряд: Так как программа производит вычисления с большим количеством знаков после запятой, она дает более точный результат, равный 0,841468.В данной курсовой работы были закреплены и систематизированы навыки программирования на языке Delphi, а так же навыки в разработке алгоритмов и в составлении программ для решения поставленной задачи.begin if (length(edit2.text)=0) or (length(edit5.text)=0) or (length(edit6.text)=0) or (length(edit7.text)=0) then MESSAGEDLG ("Заполните все поля", MTINFORMATION, [MBOK], 0); if ((form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=3) or (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=4)) and (length(edit4.text)=0) then MESSAGEDLG ("Введите значение m", MTINFORMATION, [MBOK], 0); if (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=3) or (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=4) then begin try m:=STRTOFLOAT(Edit4.Text); if (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=4) or (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=5) or (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=6) or (form1.COMBOBOX1.ITEMINDEX=7) then if ((k*a=1) or (k*a>=1)) then MESSAGEDLG ("Неверные пределы интегрирования", MTINFORMATION, [MBOK], 0); if ab then begin case form1.COMBOBOX1.
Введение
Интегрирование - вычисление значения определенного интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определенного интеграла. Если в конкретном случае для подынтегральной функции сложно или невозможно найти первообразную, удобно воспользоваться разложением функции на ряд однотипных слагаемых, и затем интегрировать каждое слагаемое отдельно до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
Данное программное средство было разработано на основе следующего технического задания: Разработать программное средство позволяющее применить численное интегрирование функции с использованием степенных рядов.
1.2 Основание для разработки
Программа разрабатывается на основе учебного плана кафедры «Информационные системы и технологии» по вычислительной математике.
1.3 Назначение программного средства
Основной функцией программного средства является численное интегрирование функции с использованием степенных рядов.
1.4 Требования к программному средству
Требования к функциональным характеристикам
После запуска программа предлагает пользователю выбрать из предложенного списка функцию, которую необходимо интегрировать, и необходимые коэффициенты. После этого пользователь вводит пределы интегрирования и требуемую точность вычислений. Нажав на кнопку, пользователь получает ответ или сообщение о некорректно введенных данных или некорректно поставленной задаче.
Требования к надежности
Предусмотреть блокировку некорректных действий.
Требования к условиям эксплуатации
Носитель с программой должен эксплуатироваться в условиях с температурой от -5 до 500С и влажностью воздуха 10-80%.
Требования к составу и параметрам технических средств
Наличие ПК с клавиатурой. Необходимое пространство на жестком диске - около 400 Кб.
Требования к информационно-программной совместимости
Программа должна работать под управление операционной системы семейства DOS (версии не ниже 3.3), либо Win 32 (Windows 95, Windows 98, Windows 2000, Windows XP, Windows Vista Windows 7 и т. п.).
2. Проектирование программного средства и программная реализация интегрирование модульный алгоритм программный
2.1 Построение математической модели для интегрирования функции с использованием степенных рядов
Пусть нам необходимо вычислить определенный интеграл некоторой функции f(x) на отрезке [a, b]. Введем понятие степенного ряда.
Степенной ряд - это функциональный ряд следующего вида: C0 C1(x-x0) C2(x-x0)2 … Cn(x-x0)n …
Здесь С0,С1,С2,…,Cn,… - некоторые фиксированные известные числа, которые называются коэффициентами степенного ряда, они образуют бесконечную последовательность. X0 - известное число (фиксированное) - центр разложения степенного ряда. X - переменная величина.
Для любого степенного ряда существует интервал (-R;R), в каждой внутренней точке которого ряд сходится, а в каждой внешней точке расходится.
Разложением функции y= f(x) в степенной ряд называется представление этой функции в некоторой области значений переменного x в виде суммы сходящегося степенного ряда. Область, в которой функция представлена в виде суммы степенного ряда, называется областью разложения функции в степенной ряд.
Если данная функция разлагается в степенной ряд, то разложение называется ряд Тейлора для функции f(x), а при x0=0 - ряд Маклорена.
Всякой функции, которая в точке x0 имеет бесконечное число производных, можно сопоставить ряд Тейлора.
Одно из основных свойств степенного ряда выглядит так:
То есть, разложив функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав каждое слагаемое (пока не будет достигнута требуемая точность), а затем просуммировав их, мы проинтегрируем исходную функцию. Интегрировать каждое слагаемое в отдельности безусловно проще, так как здесь мы имеем дело с интегрированием хорошо известной степенной функции.
При вычислениях необходимо учитывать, что отрезок интегрирования должен попадать в область сходимости ряда.
Если нам необходимо проинтегрировать не функцию f(x), а, например, функцию f(x2), то в разложении функции f(x) следует заменить x на x2, а затем поступать аналогично.
Для основных элементарных функций составлены типовые разложения: 1) , 2) , 3) , 4) , при ; при .
5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , Для знакочередующихся рядов вычисление приближенного значения интеграла следует прекратить тогда, когда абсолютное значение очередного слагаемого станет меньше требуемой точности e. Для знакопостоянных рядов необходимо оценить сумму членов, отброшенных после n-ого слагаемого. Как только эта сумма станет меньше e, вычисления можно прекратить.
2.2 Ручное интегрирование функции с использованием степенных рядов
Найти интеграл , e=0,0001.
Решение.
Разложим функцию cosx в степенной ряд:
Проинтегрируем получившийся ряд:
Так как программа производит вычисления с большим количеством знаков после запятой, она дает более точный результат, равный 0,841468.
Вычислим данный интеграл вручную:
Таким образом, мы видим, что наш метод работает верно и точность вычислений соблюдается.
2.3 Разработка модульной структуры программы
Рис. 1. Модульная структура программы
2.4 Разработка алгоритма программы
Блок-схема программы
1. Основная программа - процедура Button1Click(Sender: TOBJECT).
Назначение: основная процедура программы, производит проверки на корректность данных и выводит результат работы программы. (см. Рис. 2).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 2.1.. Процедура Button1Click
Рис. 2.2. Процедура Button1Click
Рис. 2.3. Процедура Button1Click
2. Процедура proc0.
Назначение: считает значение интеграла функции e^(kx). (см. Рис. 3).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 3.1. Процедура Proc0
Рис. 3.2. Процедура Proc0
3. Процедура proc1.
Назначение: считает значение интеграла функций sin(kx), arctg (kx) (см. Рис. 4).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 4.1.. Процедура Proc1
Рис. 4.2. Процедура Proc1
4. Процедура proc2.
Назначение: считает значение интеграла функций cos(kx). (см. Рис. 5).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 5.1. Процедура Proc2
Рис. 5.2. Процедура Proc2
5.
Процедура proc4.
Назначение: считает значение интеграла функции (1 kx)^m. (см. Рис. 6).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 6. Процедура Proc4
6.
Процедура proc5.
Назначение: считает значение интеграла функций 1/(1 kx). (см. Рис. 7).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 7. Процедура Proc5
7. Процедура proc6.
Назначение: считает значение интеграла функции 1/(1-kx). (см. Рис. 8).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 8.1. Процедура Proc6
Рис. 8.2. Процедура Proc6
8. Процедура proc7.
Назначение: считает значение интеграла функции ln(1 kx). (см. Рис. 9).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 9 Процедура Proc7.
9.
Процедура proc9.
Назначение: считает значение интеграла функции sh(kx). (см. Рис. 10).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 10.1. Процедура Proc9
Рис. 10.2. Процедура Proc9
10. Процедура proc10.
Назначение: считает значение интеграла функции ch(kx). (см. Рис. 11).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Рис. 11.1. Процедура Proc10
Рис. 11.2. Процедура Proc10
2.5 Описание структур, типов данных и глобальных переменных
На главной форме присутствуют объекты: Combobox1 - объект для осуществления выбора функции.
Edit2 - поле для ввода коэффициента k.
Edit4 - поле для ввода коэффициента m.
Edit5 - поле для ввода предела интегрирования a.
Edit6 - поле для ввода предела интегрирования b.
Edit7 - поле для ввода точности вычислений e.
Edit8 - поле для вывода ответа.
Button1 - кнопка «Ответ».
В программе используются следующие глобальные переменные: real fb1 - значение интеграла в точке b на предыдущем шаге. real fb2 - значение интеграла в точке b на текущем шаге. real fa1 - значение интеграла в точке a на предыдущем шаге. real fa2 - значение интеграла в точке a на текущем шаге. real k - коэффикиент перед x. real m - параметр функции. real a - верхний предел интегрирования. real b - нижний предел интегрирования. real e - точность. boolean f - определяет алгоритм вычиисления схожих функций.
2.6 Описание процедур и функций
1 Процедура Button1Click(Sender: TOBJECT).
Назначение: основная процедура программы, производит проверки на корректность данных и выводит результат работы программы. (см. Рис. 2).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
2. Процедура proc0.
Назначение: считает значение интеграла функции e^(kx). (см. Рис. 3).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
3. Процедура proc1.
Назначение: считает значение интеграла функций sin(kx), arctg (kx) (см. Рис. 4).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
4. Процедура proc2.
Назначение: считает значение интеграла функций cos(kx). (см. Рис. 5).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
5. Процедура proc4.
Назначение: считает значение интеграла функции (1 kx)^m. (см. Рис. 6).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
6. Процедура proc5.
Назначение: считает значение интеграла функции 1/(1 kx). (см. Рис. 7).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
7. Процедура proc6.
Назначение: считает значение интеграла функций 1/(1-kx). (см. Рис. 8).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
8. Процедура proc7.
Назначение: считает значение интеграла функции ln(1 kx). (см. Рис. 9).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
9. Процедура proc9.
Назначение: считает значение интеграла функции sh(kx). (см. Рис. 10).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
10. Процедура proc10.
Назначение: считает значение интеграла функции ch(kx). (см. Рис. 11).
Входные параметры: нет.
Выходные параметры: нет.
Вывод
В данной курсовой работы были закреплены и систематизированы навыки программирования на языке Delphi, а так же навыки в разработке алгоритмов и в составлении программ для решения поставленной задачи. Был изучен один из методов численного интегрирования функции - интегрирование функции с использованием степенных рядов.
Список литературы
1. Delphi. Программирование на языке высокого уровня / В.В Фаронов - СПБ.: Питер, 2007. - 640 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.