Постановка задачи в численной интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона. Практическая реализация методов в среде MathCad. Операции с действительными и комплексными числами. Векторные и матричные операции.
Аннотация к работе
Актуальность проделанной работы состоит в том, что система MATHCAD - современный программный продукт, который может оказать существенную помощь при выполнении решения определенной практической задачи на основе заданных данных. Задачи: 1) Провести обзор научно - методической литературы по теоретическим аспектам интерполяции и практической реализации методов в среде MATHCAD.Основная задача численной интерполяции заключается в нахождении значений таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Можно рассчитать искомое значение исходной функции в любой точке. Специальные методы интерполяции позволяют определить искомое значение функции без непосредственно прямого построения интерполяционной функции. Поэтому чаще первая проблема интерполяции решается выбором в качестве интерполяционной функции именно полинома, хотя могут применяться другие функции «например, тригонометрические полиномы, другие функции выбранные из неформальных условий содержательной задачи».Из условий равенства значений этого многочлена в узлах соответствующим заданным табличным значениям получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов Можно показать, что эта система имеет единственное решение, если среди узлов интерполяции нет совпадающих, т.е. если при Решив эту систему, найдем коэффициенты интерполяционного многочлена (1). Заметим вместе с тем, что такой путь построения интерполяционного многочлена требует значительного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n: При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (i - го), где он должен равняться единице.Составим разности значений функции: Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции. Эту формулу можно записать и для значения разности в узле Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена: Найдем отсюда коэффициенты Подставляя эти выражения в формулу (9), получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона: Конечные разности могут быть вычислены по формуле (7). Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа членов в (11) ограничиться случаем , т.е. использовать формулу (11) для Для других значений аргумента, например для вместо лучше взять значение .При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений. Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена. В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции - интерполяцией сплайнами. Ниже рассмотрен способ построения сплайнов третьей степени (кубических сплайнов), наиболее распространенных на практике. Используя совпадение значений в узлах с табличными значениями функции , получаем следующие уравнения: (16)Mathcad - система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation). Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple (MKM, Maple Kernel Mathsoft). Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределенных вычислений и традиционных языков программирования.Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. В MATHCAD можно соединять точки данных прямыми линиями (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция). Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную. Для значений , расположенных перед первой точкой в векторе , MATHCAD продолжает ломаную прямой линией, проходящей через первые две точки данных. Для значений , расположенных за последней точкой , MATHCAD продолжает ломаную прямой линией, проходящей через последние две точки данных.Пример 1.Система MATHCAD - современный программный продукт, который может оказать существенную помощь студен
План
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Основные понятия численного интерполирования
1.1 Постановка задачи в численной интерполяции
1.2 Основные методы
1.2.1 Интерполяционный многочлен Лагранжа
1.2.2 Интерполяционная формула Ньютона
1.2.3 Интерполяция сплайнами
Глава 2. Практическая реализация методов в среде MATHCAD