Сутність, особливості та історична поява чисел "пі" та "е". Доведення ірраціональності та трансцендентності чисел "пі" та "е". Методи наближеного обчислення чисел "пі" та "е" за допомогою числових рядів та розкладу в нескінченні ланцюгові дроби.
Аннотация к работе
Сучасна математика в багатьох задачах оперує підмножиною дійсних чисел, що складається з підмножин раціональних і ірраціональних чисел, тобто з чисел які можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу й чисел, та які не можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу. Особливою підмножиною ірраціональних чисел є трансцендентні числа такі числа, які не є коренем ніякого багаточлена із цілими коефіцієнтами. Існування і явні побудови дійсних трансцендентних чисел обґрунтував французький учений Ж.Ліувілль на основі заміченого їм факту: ірраціональні алгебраїчні числа не допускають «дуже сильних» наближень раціональними числами. Усім, хто вперше стикнувся з математикою в школі, відомо про 2 особливих числа: ? - число, рівне відношенню довжини окружності до її діаметра; Хоча ще з кінця 16 в., тобто з тих пор, як сформувалися самі поняття раціональних і ірраціональних чисел, багато вчених були переконані в тім, що p число ірраціональне, але тільки в 1766 німецький математик Іоганн Генріх Ламберт (17281777), ґрунтуючись на відкритій Ойлером залежності між експонентною й тригонометричною функціями, строго довів це - „Число p не може бути представлене у вигляді простого дробу, як не були б великі чисельник і знаменник”.З тих пір як перші натуральні числа 1,2,3,4,…стали нерозлучними супутниками людської думки, допомагаючи оцінювати кількості предметів або їхні довжини, площі або обєми, люди познайомилися із числом p [21]. Але вже в далекій давнині математики досить швидко й не без подиву виявили, що число 3 не зовсім точно виражає те, що тепер відомо як число p (пі). Індуси в VVI століттях користувалися числом , , китайці числом , а ще [21]. В 1844 році З.Дазе обчислює 200 знаків після коми числа p, в 1847 році Т.Клаузен одержує 248 знаків, в1853 Ріхтер обчислює 330 знаків, у тім же 1853 року 440 знаків одержує З.Дазе, а у цьому ж році У.Шенкс одержує 513 знаків. З появою ЕОМ кількість вірних знаків десяткових знаків різко зростає [21]: 1949 рік - 2 037 десяткових знаків (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958 рік - 10 000 десяткових знаків (Ф.Женюи, IBM704), 1961 рік - 100 000 десяткових знаків (Д.Шенкс, IBM7090), 1973 рік - 10 000 000 десяткових знаків (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC7600), 1986 рік - 29 360 000 десяткових знаків (Д.Бейли, Cray2), 1987 рік - 134 217 000 десяткових знаків (Я.Канада, NEC SX2), 1989 рік - 1 011 196 691 десяткових знаків (Д.Гудновски й Г.Гудновски, Cray2 IBM3040)"Множина дійсних чисел містить у собі підмножину всіх раціональних чисел, тобто чисел, які можна представити у вигляді кінечного дробу, а всі інші дійсні числа називають ірраціональними. Ірраціональність деяких дійсних числі можна встановити за допомогою критеріїв, сформульованих у наступних двох теоремах. Якщо рівність 1.3.3 продифференціювати разів, де , то одержимо: Біноміальний коэфициент ціле число, так що цілі числа. Дійсно, якщо то буде також тому що кожна із сум, що коштують у правій частині другої рівності, відрізняється від відповідної суми першої рівності, що складаються або рівними або утримуючого цього числа як множники, а числа дорівнюють нулю. Припустимо, що , де й натуральні числа.Відомо, що Із треба, що () - було ціле число, тоді цілим буде й число [9]У даній роботі було викладено суть і історичне поява чисел і .Так само були уведені поняття ірраціональних і трансцендентних чисел. Число p - відношення довжини окружності до її діаметра, - величина постійна й не залежить від розмірів окружності. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою буквою p (від «perijereia» - окружність, периферія). Як і всяке ірраціональне число, воно представляється нескінченним неперіодичним десятковим дробом: p = 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що ставляться до окружностей і круглих тіл, змусили вже в далекій давнині шукати для p наближень за допомогою раціональних чисел. Так само ми показали як можна розкласти числа й за допомогою ряду й за допомогою ланцюгового дробу.
План
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ І ОСОБЛИВІ ЧИСЛА МАТЕМАТИКИ „?.” ТА „е”
1.1 Сутність та історична поява чисел „?.” та „е”
1.2 Визначення понять ірраціональності та трансцендентності чисел
1.3 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „?”
1.4 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „е”
РОЗДІЛ ІІ НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „?”
2.1 Методи наближеного обчислення числа „?” за допомогою числових рядів
2.2 Методи наближеного обчислення числа „?” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
РОЗДІЛ ІІІ НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”
3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів
3.2 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИСКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Вывод
У даній роботі було викладено суть і історичне поява чисел і .Так само були уведені поняття ірраціональних і трансцендентних чисел.
Число p - відношення довжини окружності до її діаметра, - величина постійна й не залежить від розмірів окружності. Число, що виражає це відношення, прийнято позначати грецькою буквою p (від «perijereia» - окружність, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ойлера, що ставиться до 1736, однак уперше воно було вжито Вільямом Джонсом (16751749) в 1706. Як і всяке ірраціональне число, воно представляється нескінченним неперіодичним десятковим дробом: p = 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що ставляться до окружностей і круглих тіл, змусили вже в далекій давнині шукати для p наближень за допомогою раціональних чисел.
У даній роботі ми довели ірраціональність і трансцендентність чисел і . Так само ми показали як можна розкласти числа й за допомогою ряду й за допомогою ланцюгового дробу.
Нескінченні ланцюгові дроби можуть бути використані для рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, для швидкого обчислення значень окремих функцій.
Математиками виведена формула, яка повязує числа е и ?, т. н. «інтеграл Пуассона» або «інтеграл Гаусса»
доводячи світове значення чисел е и ?, на основі яких описуються процеси у багатьох науках та природних явищах.
У сучасності ланцюгові дроби знаходять все більше застосування в обчислювальній техніці, тому що дозволяють будувати ефективні алгоритми для рішення ряду задач на ЕОМ.
Так, дуже швидко працюють обчислювальні алгоритми, засновані на формулах Рамануджана
і братів Чудновських
В 1997 році Дейвід Х. Бейлі, Пітер Боруейн і Саймон Плуфф відкрили спосіб швидкого обчислення довільної двійкової цифри числа ? без обчислення попередніх цифр, заснований на формулі
Невирішені проблеми сучасної математики у розділі теорії чисел: Невідомо, чи є числа ? і e алгебраїчно незалежними ;
Невідомо, чи є суми та комбінації чисел: ? e, ? ? e, ?e, ? / e, ?e, ?? трансцендентними;
Дотепер нічого не відомо про нормальність числа p; невідомо навіть, які із цифр 09 зустрічаються в десятковому поданні числа p нескінченну кількість разів.
Список литературы
1. Арнольд И.В. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1939. 287 с.
2. Арнольд В.И. Цепные дроби. М.: МЦМНО, 2000. 40 с.
5. Беркович Е. Мировые константы ? и e в природе // Журнал «7 искусств», № 1, декабрь 2009 - , 2010
6. Болтянский В. Экспонента // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 3, 1984
7. Бородін О.І. Теорія чисел.К.: Радянська школа, 1965. 262 с.
8. Бохан К.А. и др. Курс математического анализа т.II. М.: Просвещение 1972.
9. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Издво „Наука” - „Физматлит”, 1979. - 664 с.
11. Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел p и e Харьков, Издательство Харьковского госуниверситета, 1952. - 79 с.
12. Звонкин А. Что такое p // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 11, 1978
13. Канторович А.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Изд. Физикоматематической литературы, 1962. 708 с.
14. Крылов В.И. Вычислительные методы : учебное пособие / В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырный. - М.: „Наука”, 1976. Т.1. - 304 с.
15. Крылов В.И. Вычислительные методы : учебное пособие / В.И.Крылов, В.В.Бобков, П.И.Монастырный. - М.: „Наука”, 1977. Т.2. - 399 с.
16. Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Научнопопулярный журнал „Квант”. М.:МЦМНО, № 8, 1979
17. Кымпан Ф. История числа p. М.: Наука, Гл. ред. физ.мат. лит.,1987. - 239 с.
18. Марков А. Доказательство трансцендентности числа p (невозможность квадратуры круга) Санкт Петербург, Типография Императорской академии наук, 1883. - 74 с.
19. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Схемы, таблицы. - М.: « Наука», 1977. 456 с.
20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: „Наука”, 1970. - Т.2. - 800 с.
21. http://ru.wikipedia.org/wiki/Пи _Число математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра, 2010