Вивчення методів розв"язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв"язку звичайного диференціального рівняння.
Аннотация к работе
Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція буде його розвязком для будь-якого . Справді, Якщо припустити, що розвязок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого , то отримаємо рівняння Це дозволяє вибрати таку константу . щоб функція (11.6) задовольняла не тільки рівняння (11.12) і першу граничну умову, але і другу граничну умову (11.5). , Умови, які повинні задовольняти функції , і , для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розвязок, випливають із теореми як наслідок. Припустимо ,що відповідно задачі (1-2) поставлені коректно, тобто оператори А и R; область D и її границі Г такі, що при виборі відповідних класів функцій і правих частин у рівняннях (1) и (2) розвязок існує, і залежить від початкових даних.Розвязок задачі отримують багаторазовим розвязанням задачі Коші. У загальному випадку для розвязання двоточкової крайової задачі (одно-чи багатовимірної, лінійної чи нелінійної) доцільно застосовувати метод прицілювання, а для розвязання окремих лінійних одновимірних задач - метод композиції двох розвязків задачі Коші з різними початковими умовами. Ефективним методом розвязання лінійної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є метод скінченних різниць, у якому використовуються різницеві схеми апроксимації для похідних першого і другого порядків. У результаті крайова задача перетворюється на задачу розвязання системи лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею.
План
Зміст
Вступ
Постановка задачі
Метод скінчених різниць
Дослідження точності
Збіжність різницевої схеми
Програмна реалізація(представлена на мові Delphi
Висновки
Література
Вывод
Крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь є набагато складнішою, ніж задача Коші. Одним із підходів до розвязання цієї задачі є зведення її до задачі Коші зі змінними початковими умовами. Розвязок задачі отримують багаторазовим розвязанням задачі Коші.
У загальному випадку для розвязання двоточкової крайової задачі (одно- чи багатовимірної, лінійної чи нелінійної) доцільно застосовувати метод прицілювання, а для розвязання окремих лінійних одновимірних задач - метод композиції двох розвязків задачі Коші з різними початковими умовами.
Ефективним методом розвязання лінійної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є метод скінченних різниць, у якому використовуються різницеві схеми апроксимації для похідних першого і другого порядків. У результаті крайова задача перетворюється на задачу розвязання системи лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею. Цю систему можна розвязати методом прогону.
Метод скінченних різниць дозволяє також обчислювати власні значення і власні функції крайової задачі, які визначають нетривіальні розвязки однорідної крайової задачі.
Метод скінченних різниць можна застосовувати і для розвязання нелінійних крайових задач, але в цьому випадку необхідно лінеаризовувати нелінійні функції, що входять в умову задачі.
Розвязок крайової задачі у вигляді апроксимуючого аналітичного виразу отримують методами колокацій, Гальоркіна і найменших квадратів введенням базисних функцій, які враховують граничні умови.
Коефіцієнти для базисних функцій та їх композиції, які апроксимують розвязок крайової задачі, у методі колокацій вибирають з умови нульової невязки в обраних вузлах інтервалу розвязку, у методі найменших квадратів - з умови мінімуму квадрату невязки, а в методі Гальоркіна - з умови ортогональності невязки до обраних базисних функцій.
У сучасних математичних пакетах розвязання крайових задач для рівнянь з частинними похідними конкуренцію розглянутим методам складає метод скінчених елементів, що базується на концепціях метода Гальоркіна за умови спеціального вибору базисних функцій.