Производные второго порядка, функции нескольких переменных. Понятие дифференциала второго порядка. Разложение по формуле Тейлора. Необходимые условия существования экстремума. Критическая или стационарная точка, в которой может существовать экстремум.
Аннотация к работе
Тогда определены производные второго порядка: = - вторая производная по x при условии = - вторая производная по y при условии = - смешанная производная при условии = - смешанная производная при условии Теорема. Дифференциал 2-го порядка Для функции определены производные: = при = при = при ; = при = при ; = при Дифференциалом второго порядка называют дифференциал от дифференциала первого порядка : 2 2 2 Пример: для функции в ТОЧКЕФОРМУЛА Тейлора для функции нескольких переменных Заменяя дифференциалы независимых переменных их приращениями : , , получаем выражения для дифференциалов: 2 2 2 Пример: разложение по формуле Тейлора с точностью до бесконечно малых второго порядка функции в точке =Локальные экстремумы функции нескольких переменных Пусть функция определена в точке и окрестности этой точки, непрерывна в точке . Если приращение функции сохраняет знак в окрестности точки, то точка является точкой локального экстремума : минимум максимум Необходимые условия существования экстремума : = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 Решение системы - точка называется критической или стационарной точкой, в которой может существовать ЭКСТРЕМУМСВЕДЕНИЯ о квадратичных формах Квадратичной формой порядка называют функцию: , Квадратичной формой порядка называют функцию: Каждой квадратичной форме ставится в соответствие матрица: , Критерий Сильверста . 1) Для положительной определенной необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры матрицы 2) для отрицательной определенности миноры должны менять знаки в порядке «» ,Достаточные условия существования экстремума Характер экстремума в стационарной точке определяется знаком приращения функции в окрестности точки или знаком второго дифференциала … : - точка минимума - точка максимума По своей структуре второй дифференциал является квадратичной формой относительно Поэтому знак можно определять по критерию Сильверста , ,Пример исследования на экстремум Для функции находим область определения (и записываем необходимые условия существования экстремума: = = = Решением системы являются стационарные точки . Находим вторые производные и составляем матрицу для проверки достаточных условий в каждой точке В точке выполняются условия существования минимума : = = = В точке выполняются условия максимума : = = В других точках условия экстремума не выполняются.Условный экстремум.