Дослідження моментів та розподілу випадкових величин у схемах розміщення частинок комплектами. Cкінченні та асимптотичні формули для сумісних факторіальних моментів випадкових величин. Математична індукція при доведенні гауссівських граничних теорем.
Аннотация к работе
Національна академія наук України Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова УДК 519. 2 519. 7 Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук Асимптотичні методи в задачах імовірнісної комбінаторики 01. 05. 01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики Савчук Михайло Миколайович Київ 1999 Загальна характеристика роботи випадкова величина математична індукція Актуальність теми. На протязі останніх трьох десятиріч дискретна математика переживає період бурхливого розвитку, потужним стимулом для якого стало швидке удосконалення електронної обчислювальної техніки та автоматизованих керуючих систем, впровадження в самих різних галузях сучасних інформаційних технологій. Нові обрії в науці, техніці, економіці, можливість застосовувати раніше непридатні через їхню трудомісткість методи аналізу, моделювання, оптимізації не тільки для традиційних, але й зовсім нових математичних обєктів, істотно збільшили теоретичну цінність і практичне значення дискретних методів. Це призвело до поглибленого вивчення різних областей дискретної математики, таких як комбінаторний аналіз, теорія кодування, цілочислове програмування, теорія відображень і графів, випадкові розміщення, ймовірнісна комбінаторика, теорія алгоритмів тощо. З потреб конструювання та експлуатації пристроїв сучасної автоматики, обчислювальної техніки, систем збереження, обробки і передачі інформації, систем захисту даних ЕОМ і каналів звязку виникли наукові проблеми, що мають чітко виражений дискретний характер. У багатьох випадках оцінки характеристик, поведінки та властивостей дискретних систем, що задовольняли б практичним потребам, можна одержати за допомогою асимптотичного аналізу і методів теорії ймовірностей. Використання добре розроблених аналітичних методів, граничних теорем теорії імовірностей дає можливість краще досліджувати динаміку розвитку складних систем як у практичному, так і в теоретичному відношеннях. Ердеша «Ймовірнісні методи в комбінаториці» (1976), В. Ф. Колчина, Б. О. Севастьянова, В. П. Чистякова «Випадкові розміщення» (1976), В. Н. Сачкова «Комбінаторні методи дискретної математики» (1976) і «Ймовірнісні методи в комбінаторному аналізі» (1978), В. Ф. Колчина «Випадкові відображення» (1984), І. Н. Коваленка, А. О. Левітської, М. М. Савчука «Вибрані задачі ймовірнісної комбінаторики» (1986). Серед численних робіт з ймовірнісної комбінаторики можна виділити декілька напрямків: комбінаторні задачі в теорії випадкових процесів, випадкові відображення та випадкові графи, задачі про розміщення частинок по ячейках, комбінаторно-ймовірнісні алгоритми. Метою дослідження є розробка загальної математичної теорії для асимптотичного аналізу широкого класу задач випадкового розміщення, дискретних моделей та ймовірнісно-комбінаторних алгоритмів. У роботі ставляться та вирішуються такі задачі: - провести асимптотичне дослідження різноманітних схем розміщення частинок, вивчити асимптотичну поведінку мішаних моментів випадкових величин, розподілів випадкових величин, сумісних розподілів тощо; - розробити загальну методику асимптотичного дослідження векторних випадкових процесів у задачах розміщення та доведення слабкої збіжності векторних випадкових процесів, побудованих за різними схемами розміщення частинок (з двома типами спрямованості часу), до гауссівских дифузійних процесів; - розробити математичний апарат для дослідження дискретних схем, комбінаторно-ймовірнісних алгоритмів та розвязання прикладних задач, що використовують поняття та ідеологію теорії випадкових розміщень, дослідити ряд дискретних моделей в умовах невизначеності комбінаторно-ймовірнісними та асимптотичними методами; - розробити ряд ймовірнісно-комбінаторних алгоритмів для дослідження методів декодування, комбінаторних схем, стохастичних систем, дискретних і неперервних моделей, оптимізації їхніх характеристик, побудувати алгоритми для розвязання таких прикладних задач як декодування, оптимізація, статистичне визначення характеристик дискретних пристроїв тощо. Насамперед хотілося б зазначити сильну московську школу, представлену, наприклад, такими відомими вченими як Б. О. Севастьянов, В. Я. Козлов, В. Н. Сачков, В. Ф. Колчин, В. П. Чистяков, В. А. Іванов, Г. І. Івченко, Ю. І. Медведєв, В. Г. Михайлов, А. М. Зубков, О. Ф. Ронжин та ін. Слабка збіжність у схемах розміщення одновимірних випадкових процесів у просторі неперервних функцій вивчалась Б. А. Севастьяновим, Ю. В. Болотніковим, Г. І. Івченком, В. В. Льовиним (класичними методами), Р. Ш. Ліпцером, А. М. Ширяєвим, Є. В. Хмаладзе (за допомогою граничної теореми для мартингалів) та іншими.