Исследование математических методов анализа сигналов с помощью преобразований Фурье и их связь. Соотношение Парсеваля, которое выполняется для вещественной, частотно-ограниченной функции f(t), интегрируемой на интервале, соответствующем одному периоду.
Аннотация к работе
Рассмотрим математические методы анализа сигналов с помощью преобразований Фурье и связь этих методов. Начнем рассмотрение с Фурье-анализа периодических функций. Такая функция может быть представлена в виде суммы гармонических слагаемых. Если выбрать такие слагаемые в виде комплексной экспоненциальной формы, то разложение f(t) в ряд Фурье принимает вид: (1) где частота ?0 определяется формулой: а коэффициенты разложения определяются выражением: (2) В результате такой процедуры дискретизации функции f(t),вместо вычисления интеграла (2) мы приходим к необходимости вычисления дискретной суммыВажным результатом является соотношение Парсеваля, которое выполняется для вещественной, частотно-ограниченной функции f(t), интегрируемой на интервале [0, ?], соответствующем одному периоду: сигнал фурье дискретизацияПри этом установлено, что Фурье-разложение может быть применено к функциям имеющим конечное число разрывов в пределах одного периода ?. Предположим, что функция имеет разрыв в точке , со значениями справа и слева и , и дифференцируема в этих точках. Возьмем функцию, изображенную на рис. 2, имеющую период и разрывы в точках : , (14) При функция si имеет значение и представляет собой затухающие колебания, которые угасают экспоненциально.Рассмотрим интеграл Фурье на упрощенном примере, который довольно точно соответствует основным практическим задачам импульсной техники. Возьмем импульс продолжительностью , повторяющийся периодически с периодом . Проанализируем эту импульсную систему с помощью рядов Фурье в соответствии с уравнениями (1) и (2) (см. рис.3): Рис.3. импульс продолжительностью , повторяющийся периодически с периодом . Во втором интеграле (22) реальное интегрирование осуществляется по интервалу , соответствующему одному импульсу, так как только при Если импульс имеет спектр , то импульс имеет спектр .Одной из важнейших особенностей любых реальных сигналов, является то, что они генерируются в ограниченных частотных диапазонах и, следовательно, характеризуются конечной шириной частотной полосы. Система может быть низкочастотной и работать в частотах от нуля до определенного максимума , или полосовой и использовать частоты в пределах от до . Так называемый, высокочастотный тип системы является гипотетическим, поскольку нет такой реальной физической системы, которая бы работала без верхнего частотного предела. Рассмотрим справедливость утверждения, согласно которому сигнал продолжительностью требует для своего отображения спектральный интервал, определяемый неравенством: (31) Так, частоты внутри полосы имеют гораздо большие , в сравнении с частотами за ее пределами.
План
Содержание
1.Ряды Фурье
2.Соотношение Парсеваля
3. Явление Гиббса и сходимость рядов Фурье
4 Интеграл Фурье
5. Роль ограниченной ширины частотной полосы
Литература
1.Ряды Фурье
Список литературы
Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. С. Пб.: Питер, 2013, 608 с.
Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. С. Пб.: БХВ - Петербург, 2013, 601 с.
Бугаев Л.А., Авакян Л.А., Махова М.С., Дмитриенко Е.В., Алексеенко И.Б. Разрешение межатомных расстояний с помощью Фурье-анализа рентгеновских спектров поглощения малой энергетической протяженности. Оптика и спектроскопия, 2008, т.105, № 6, с.962-969.