Основные элементы функционального анализа сигналов. Спектральная плотность и ее свойства, теоремы о спектрах. Аналитический сигнал: основные понятия, спектр аналитического сигнала. Связь автокорреляционной функции и энергетического спектра сигнала.
Аннотация к работе
Норма и метрика В основе функционального анализа сигналов лежит представление сигнала как вектора, в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве. Причина объединения этих объектов - наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества . сигнал спектр аналитический энергетический Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы: 1. Множество содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех . Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору однозначно сопоставлено число - норма этого вектора. Скалярное произведение вещественных сигналов и : Скалярное произведение обладает следующими свойствами: 1. 2. 3. Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H. Обобщенный ряд Фурье Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами: 1, если 0, если Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.1) и затем проинтегрируем результаты по времени: (1.2) Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.2) останется только член суммы с номером , поэтому: (1.3) Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл: Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме окажутся отличными от нуля только члены с номерами . Отсюда получается результат, который называется равенством Парсеваля: (1.4) Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье. 3. Спектральная плотность и ее свойства. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре. III. Суммируя прогрессию, получаем Аналогично получается Z-преобразование бесконечного дискретного сигнала , где - некоторое вещественное число. Рассмотрим дискретный сигнал , получающийся из дискретного сигнала путём сдвига на одну позицию в сторону запаздывания, т.е. когда . Непосредственно вычисляя Z-преобразование, получаем следующий результат: (5.12) Таким образом, символ служит оператором единичной задержки (на один интервал дискретизации) в Z-области. 3. Пусть x(z) и y(z) - непрерывные сигналы, для которых определена свёртка: (5.13) Применительно к дискретным сигналам по аналогии с (7.5) принято вводить дискретную свёртку - последовательность чисел общий член которой: (5.14) Подобную дискретную свёртку называют линейной Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки: (5.15) Итак, свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований. 13. Стационарные и эргодические случайные процессы 1. Стационарность. Случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига : (6.1) Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание m и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности , т.е. 2) Возьмём комплексно сопряжённый сигнал, так что наряду с (6.9) справедливо равенство: (6.10) Запишем выражение функции корреляции процесса X(t), используя спектральные разложения случайных реализаций: (6.11) Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содержится множитель , имеющий смысл функции корреляции случайной спектральной плотности. Формулы (6.14) и (6.15) составляют содержание теоремы Винера-Хинчина (1934 г. Хинчин А.Я. и Н. В технических расчётах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц: (6.21) При этом, как легко видеть Весьма важным параметром случайных процессов является интервал корреляции. Однако это не мешает приближённо заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума. Функция распределения гауссовой случайной величины Замена переменной даёт: (7.3) Здесь Ф интеграл вероятностей График функции F(x) имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от 0 до 1. 16. Определим функцию корреляции узкополосного случайного процесса. Тогда (7.8) Характерный вид функции корреляции (7.8) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания: , (7.9) у которых как огибающая U(t), так и начальная фаза являются случайными функциями, медленно (в масштабе ) изменяющимися во времени. (7.10) Предположение о медленности синфазной A(t) и квадратурной B(t) амплитуд позволяет весьма просто записать выражение для реализации сопряжённого